Номер 55, страница 31 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

55. По данным на рисунке 37, а, б, в найдите: а) периметр параллелограмма ABCD; б) углы параллелограмма EKMP; в) углы и периметр параллелограмма QRST.

а) Для параллелограмма ABCD: высота $BH = 2$, угол $A = 30^\circ$, сторона $BC = a$.

Из $\triangle ABH$: $AB = BH / \sin A = 2 / \sin 30^\circ$.

Периметр: $P_{ABCD} = 2(AB + BC) = 2(AB + a)$.

б) Для параллелограмма EKMP: угол $P = \alpha$. Высота $KF$ к стороне $EP$, при этом $EF = FP$.

Углы: $\angle P = \alpha$, $\angle K = \alpha$, $\angle E = 180^\circ - \alpha$, $\angle M = 180^\circ - \alpha$.

в) Для параллелограмма QRST: угол $Q = 60^\circ$, сторона $ST = 4$, $QN = 4$, $NT = 3$.

Стороны: $QT = QN + NT = 4 + 3 = 7$, $QR = ST = 4$.

Углы: $\angle Q = 60^\circ$, $\angle S = 60^\circ$, $\angle R = 180^\circ - 60^\circ$, $\angle T = 180^\circ - 60^\circ$.

Периметр: $P_{QRST} = 2(QR + QT)$.

Рисунок 37

a)

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$. В нем известен угол $\angle A = 30^\circ$ и противолежащий этому углу катет $BH = 2$.

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в $30^\circ$, равен половине гипотенузы. Отсюда следует, что гипотенуза $AB$ в два раза больше катета $BH$.

$AB = 2 \cdot BH = 2 \cdot 2 = 4$.

По свойству параллелограмма, его противоположные стороны равны. Следовательно, $CD = AB = 4$. Также $AD = BC$.

На рисунке длина стороны $BC$ обозначена переменной $a$. Таким образом, $AD = a$.

Периметр параллелограмма ($P$) вычисляется как удвоенная сумма длин его смежных сторон:

$P_{ABCD} = 2(AB + AD)$.

Подставим найденные значения длин сторон:

$P_{ABCD} = 2(4 + a)$.

Поскольку числовое значение для $a$ в условии не дано, ответ выражается через эту переменную.

Ответ: $P_{ABCD} = 2(4 + a)$.

б)

По условию, $EKMP$ — параллелограмм. В стандартной геометрии это означает, что вершины перечислены последовательно. Однако, если $E, K, M, P$ — последовательные вершины, то $EP$ — это сторона. Высота $KF$, опущенная на сторону $EP$, является также и медианой ($EF=FP$), что означает, что треугольник $KPE$ — равнобедренный с боковыми сторонами $KE=KP$. В этом случае $KE$ является стороной параллелограмма, а $KP$ — его диагональю. Это приводит к частному случаю, где ответ не зависит от $\alpha$.

Более вероятно, что в названии параллелограмма опечатка, и он должен называться $EKPM$ (или $EMPK$), где $EP$ — это диагональ. Примем это допущение.

Рассмотрим треугольник $EKP$. Отрезок $KF$ является высотой к стороне $EP$ ($KF \perp EP$) и одновременно медианой ($EF = FP$). Треугольник, в котором высота к стороне является и медианой, является равнобедренным. Следовательно, $EK = KP$.

В параллелограмме $EKPM$ стороны $EK$ и $KP$ являются смежными. Если смежные стороны параллелограмма равны, то этот параллелограмм — ромб. Значит, $EKPM$ — ромб.

По свойству ромба, его диагонали являются биссектрисами его углов. Диагональ $EP$ делит угол $\angle KPM$ на два равных угла. На рисунке дан угол $\alpha = \angle KPF$. Поскольку точки $E, F, P$ лежат на одной прямой, то $\angle KPE = \angle KPF = \alpha$.

Тогда полный угол ромба при вершине $P$ равен $\angle KPM = 2 \cdot \angle KPE = 2\alpha$.

Противоположный угол $\angle KEM$ также равен $2\alpha$.

Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна $180^\circ$. Отсюда, угол при вершине $K$ равен $\angle EKP = 180^\circ - \angle KPM = 180^\circ - 2\alpha$.

Противоположный ему угол $\angle EMP$ также равен $180^\circ - 2\alpha$.

Ответ: углы параллелограмма равны $2\alpha$, $180^\circ - 2\alpha$, $2\alpha$ и $180^\circ - 2\alpha$.

в)

Рассмотрим параллелограмм $QRST$. По свойству параллелограмма, его противоположные стороны равны, то есть $QR = ST$ и $RS = QT$.

Из данных на рисунке $ST = 4$, следовательно, $QR = 4$.

Сторона $QT$ состоит из отрезков $QN$ и $NT$. Их длины даны: $QN = 4$ и $NT = 3$.

Длина стороны $QT = QN + NT = 4 + 3 = 7$.

Таким образом, стороны параллелограмма равны 4 и 7.

Периметр параллелограмма $P_{QRST} = 2(QR + QT) = 2(4 + 7) = 2 \cdot 11 = 22$.

Теперь найдем углы. Угол параллелограмма при вершине $Q$ — это $\angle RQT$. На рисунке указано, что $\angle RQN = 60^\circ$. Так как точка $N$ лежит на стороне $QT$, то угол $\angle RQT$ совпадает с углом $\angle RQN$, то есть $\angle RQT = 60^\circ$.

Противоположный угол $\angle RST$ также равен $60^\circ$.

Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Следовательно, угол при вершине $R$ равен $\angle QRS = 180^\circ - \angle RQT = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Противоположный ему угол $\angle QTS$ также равен $120^\circ$.

Ответ: периметр равен 22; углы равны $60^\circ$, $120^\circ$, $60^\circ$, $120^\circ$.