Вопросы, страница 35 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

Сформулируйте и докажите признаки параллелограмма.

Решение

Признаками параллелограмма являются условия, при которых четырехугольник можно однозначно определить как параллелограмм. Ниже сформулированы и доказаны основные признаки параллелограмма.

Признак 1: По двум сторонам, которые равны и параллельны

Формулировка: если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Доказательство: пусть дан четырехугольник $ABCD$, в котором стороны $AB$ и $CD$ равны и параллельны, то есть $AB = CD$ и $AB \parallel CD$. Проведем диагональ $AC$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$.

1. Сторона $AB$ равна стороне $CD$ по условию: $AB = CD$.

2. Сторона $AC$ является общей для обоих треугольников.

3. Углы $\angle BAC$ и $\angle DCA$ равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$: $\angle BAC = \angle DCA$.

По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними, СУС), треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$ равны: $\triangle ABC \cong \triangle CDA$.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle BCA = \angle DAC$. Так как эти углы являются накрест лежащими при прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$, то $BC \parallel AD$.

Таким образом, в четырехугольнике $ABCD$ противолежащие стороны попарно параллельны ($AB \parallel CD$ и $BC \parallel AD$), что по определению означает, что $ABCD$ является параллелограммом.

Ответ: Признак доказан.

Признак 2: По диагоналям

Формулировка: если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Доказательство: пусть дан четырехугольник $ABCD$, диагонали $AC$ и $BD$ которого пересекаются в точке $O$, причем $AO = OC$ и $BO = OD$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COD$.

1. Сторона $AO$ равна стороне $OC$ по условию: $AO = OC$.

2. Сторона $BO$ равна стороне $OD$ по условию: $BO = OD$.

3. Углы $\angle AOB$ и $\angle COD$ равны как вертикальные углы: $\angle AOB = \angle COD$.

По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними, СУС), треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COD$ равны: $\triangle AOB \cong \triangle COD$.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон $AB = CD$ и равенство соответствующих углов $\angle OAB = \angle OCD$. Так как $\angle OAB$ и $\angle OCD$ являются накрест лежащими углами при прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$, то $AB \parallel CD$.

Мы получили, что в четырехугольнике $ABCD$ две стороны $AB$ и $CD$ равны и параллельны. Согласно первому признаку параллелограмма, $ABCD$ является параллелограммом.

Ответ: Признак доказан.

Признак 3: По попарному равенству противоположных сторон

Формулировка: если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Доказательство: пусть дан четырехугольник $ABCD$, в котором противолежащие стороны попарно равны, то есть $AB = CD$ и $BC = AD$. Проведем диагональ $AC$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$.

1. Сторона $AB$ равна стороне $CD$ по условию: $AB = CD$.

2. Сторона $BC$ равна стороне $AD$ по условию: $BC = AD$.

3. Сторона $AC$ является общей для обоих треугольников.

По третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам, ССС), треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$ равны: $\triangle ABC \cong \triangle CDA$.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle BAC = \angle DCA$ и $\angle BCA = \angle DAC$.

Так как $\angle BAC = \angle DCA$ и эти углы являются накрест лежащими при прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$, то $AB \parallel CD$.

Так как $\angle BCA = \angle DAC$ и эти углы являются накрест лежащими при прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$, то $BC \parallel AD$.

Таким образом, в четырехугольнике $ABCD$ противолежащие стороны попарно параллельны ($AB \parallel CD$ и $BC \parallel AD$), что по определению означает, что $ABCD$ является параллелограммом.

Ответ: Признак доказан.