Номер 64, страница 36 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

64. a) Как, используя признаки параллелограмма, можно: 1) установить, параллельны ли края прямой дороги; 2) имеет ли форму параллелограмма четырехугольная пластинка?

б) Является ли параллелограммом четырехугольник: 1) имеющий две пары равных противоположных углов; 2) две стороны которого не равны, а две другие параллельны?

а)

1) Чтобы установить, параллельны ли края прямой дороги, можно применить один из признаков параллелограмма. Края дороги можно рассматривать как две прямые линии. Для проверки их параллельности нужно выполнить следующие действия:

1. Выбрать на одном краю дороги две точки, назовем их A и D.

2. Выбрать на другом краю дороги две точки, B и C, так, чтобы получился четырехугольник ABCD.

3. Измерить "ширину" дороги в двух местах, то есть длины отрезков AB и DC. Эти отрезки являются противоположными сторонами четырехугольника.

4. Измерить расстояние между точками замера вдоль каждого края дороги, то есть длины отрезков AD и BC. Это вторая пара противоположных сторон.

5. Сравнить длины противоположных сторон. Если окажется, что $AB = DC$ и $AD = BC$, то, согласно признаку параллелограмма, четырехугольник ABCD является параллелограммом. По определению параллелограмма, его противоположные стороны параллельны. Следовательно, края дороги, на которых лежат стороны AD и BC, параллельны.

Ответ: Необходимо сформировать четырехугольник, две стороны которого лежат на краях дороги, а две другие соединяют их. Если у этого четырехугольника противоположные стороны попарно равны, то он является параллелограммом, а значит, края дороги параллельны.

2) Чтобы установить, имеет ли четырехугольная пластинка форму параллелограмма, можно воспользоваться измерительными инструментами и проверить выполнение одного из признаков параллелограмма:

• Признак по сторонам: Измерить длины всех четырех сторон пластинки. Если противоположные стороны попарно равны, то пластинка имеет форму параллелограмма.

• Признак по углам: Измерить величины всех четырех углов пластинки. Если противоположные углы попарно равны, то пластинка является параллелограммом.

• Признак по диагоналям: Провести (или вообразить) на пластинке две диагонали. Измерить их длины и найти точку их пересечения. Если диагонали в точке пересечения делятся пополам, то пластинка является параллелограммом.

Ответ: Можно измерить длины сторон, величины углов или длины диагоналей и проверить, выполняется ли один из признаков параллелограмма (равенство противоположных сторон, равенство противоположных углов или деление диагоналей точкой пересечения пополам).

б)

1) Рассмотрим четырехугольник, у которого две пары равных противоположных углов. Пусть в четырехугольнике ABCD углы равны следующим образом: $∠A = ∠C$ и $∠B = ∠D$.

Сумма углов любого выпуклого четырехугольника равна $360°$. То есть, $∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°$.

Заменим $∠C$ на $∠A$ и $∠D$ на $∠B$:

$∠A + ∠B + ∠A + ∠B = 360°$

$2(∠A + ∠B) = 360°$

$∠A + ∠B = 180°$

Рассмотрим стороны AD и BC и секущую AB. Углы $∠A$ и $∠B$ являются односторонними внутренними углами. Так как их сумма равна $180°$, прямые AD и BC параллельны ($AD \parallel BC$).

Аналогично, $∠A + ∠D = 180°$. Рассматривая стороны AB и DC и секущую AD, мы видим, что углы $∠A$ и $∠D$ — односторонние внутренние, и их сумма равна $180°$. Следовательно, прямые AB и DC параллельны ($AB \parallel DC$).

Поскольку у четырехугольника обе пары противоположных сторон параллельны, он является параллелограммом по определению.

Ответ: Да, является. Это один из признаков параллелограмма.

2) Рассмотрим четырехугольник, у которого две стороны не равны, а две другие параллельны. Условие можно трактовать так: одна пара противоположных сторон параллельна, а другая пара противоположных сторон не равна.

Пусть в четырехугольнике ABCD стороны AD и BC параллельны ($AD \parallel BC$), а стороны AB и DC не равны ($AB ≠ DC$).

Такой четырехугольник является трапецией. Чтобы он был параллелограммом, необходимо, чтобы и вторая пара сторон была параллельна, то есть $AB \parallel DC$. Однако, если четырехугольник является параллелограммом, то его противоположные стороны должны быть равны, то есть должно выполняться равенство $AB = DC$. Это противоречит условию задачи ($AB ≠ DC$).

Примером такой фигуры может служить любая не равнобокая трапеция.

Ответ: Нет, не является. Такой четырехугольник является трапецией, но не параллелограммом.