Вопросы, страница 39 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

1. Докажите, что диагонали прямоугольника равны.

2. Сформулируйте и докажите признаки прямоугольника.

1. Докажите, что диагонали прямоугольника равны.

Дано: Прямоугольник ABCD с диагоналями AC и BD.

Найти: Доказать, что $AC = BD$.

Решение:

Рассмотрим прямоугольник ABCD. По определению, прямоугольник - это параллелограмм, у которого все углы прямые, то есть равны $90^\circ$. Противоположные стороны прямоугольника равны.

Рассмотрим два треугольника: $\triangle ABD$ и $\triangle DCA$.

Сторона $AD$ является общей для обоих треугольников.

Стороны $AB$ и $DC$ равны как противоположные стороны прямоугольника.

Углы $\angle DAB$ и $\angle ADC$ являются прямыми углами прямоугольника, следовательно, $\angle DAB = \angle ADC = 90^\circ$.

На основании первого признака равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними) можно заключить, что $\triangle ABD = \triangle DCA$.

Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Диагональ $BD$ является стороной треугольника $\triangle ABD$, а диагональ $AC$ является стороной треугольника $\triangle DCA$.

Таким образом, $BD = AC$.

Ответ: Диагонали прямоугольника равны.

2. Сформулируйте и докажите признаки прямоугольника.

Признаки прямоугольника - это условия, при которых параллелограмм является прямоугольником.

Признак 1: Если у параллелограмма один угол прямой, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Дано: Параллелограмм ABCD, в котором $\angle A = 90^\circ$.

Найти: Доказать, что ABCD - прямоугольник.

Решение:

По свойствам параллелограмма: Противоположные углы параллелограмма равны. Значит, $\angle C = \angle A = 90^\circ$.

Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна $180^\circ$. Следовательно, $\angle A + \angle B = 180^\circ$. Поскольку $\angle A = 90^\circ$, то $\angle B = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Аналогично, $\angle D = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$ (или $\angle D = \angle B = 90^\circ$).

Таким образом, все углы параллелограмма ABCD равны $90^\circ$ ($ \angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^\circ $).

По определению, фигура, у которой все углы прямые, является прямоугольником.

Ответ: Параллелограмм с одним прямым углом является прямоугольником.

Признак 2: Если у параллелограмма диагонали равны, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Дано: Параллелограмм ABCD, в котором диагонали $AC$ и $BD$ равны, то есть $AC = BD$.

Найти: Доказать, что ABCD - прямоугольник.

Решение:

Рассмотрим параллелограмм ABCD.

Рассмотрим два треугольника: $\triangle ABD$ и $\triangle DCA$.

Сторона $AD$ является общей для обоих треугольников.

Стороны $AB$ и $DC$ равны как противоположные стороны параллелограмма.

Диагонали $AC$ и $BD$ равны по условию ($AC = BD$).

На основании третьего признака равенства треугольников (по трем сторонам) можно заключить, что $\triangle ABD = \triangle DCA$.

Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих углов. Значит, $\angle DAB = \angle ADC$.

По свойству параллелограмма, сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. То есть, $\angle DAB + \angle ADC = 180^\circ$.

Поскольку $\angle DAB = \angle ADC$, мы можем записать $2 \cdot \angle DAB = 180^\circ$.

Отсюда следует, что $\angle DAB = 90^\circ$.

Таким образом, у параллелограмма ABCD один угол прямой.

По Признаку 1 (доказанному выше), если у параллелограмма один угол прямой, то этот параллелограмм является прямоугольником.

Ответ: Параллелограмм с равными диагоналями является прямоугольником.