Номер 63, страница 35 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

63. a) Дано: ABFG и DCFG – параллелограммы (рисунок 42, а). Докажите, что ABCD – параллелограмм.

б) Дано: MNKL – параллелограмм, $NE \perp MK$; $LH \perp MK$ (рисунок 42, б). Докажите, что $NE \parallel LH$ и $NE = LH$.

в) Дано: OPQR – параллелограмм, $OS = QT$ (рисунок 42, в). Докажите, что SPTR – параллелограмм.

Рисунок 42

а)

1. Поскольку $ABFG$ является параллелограммом, его противоположные стороны параллельны и равны. Следовательно, сторона $AB$ параллельна стороне $FG$ ($AB \parallel FG$) и равна ей по длине ($AB = FG$).

2. Аналогично, поскольку $DCFG$ является параллелограммом, его противоположные стороны также параллельны и равны. Следовательно, сторона $DC$ параллельна стороне $FG$ ($DC \parallel FG$) и равна ей по длине ($DC = FG$).

3. Из двух предыдущих пунктов следует, что $AB \parallel FG$ и $DC \parallel FG$. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой. Таким образом, $AB \parallel DC$.

4. Также мы установили, что $AB = FG$ и $DC = FG$. Методом подстановки получаем, что $AB = DC$.

5. В четырехугольнике $ABCD$ противоположные стороны $AB$ и $DC$ одновременно параллельны и равны. Согласно признаку параллелограмма, если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник является параллелограммом.

6. Таким образом, $ABCD$ — параллелограмм.

Ответ: Доказано, что $ABCD$ — параллелограмм.

б)

1. По условию, отрезки $NE$ и $LH$ перпендикулярны одной и той же прямой $MK$ ($NE \perp MK$ и $LH \perp MK$). По свойству перпендикулярных прямых, если две прямые перпендикулярны третьей, то они параллельны друг другу. Следовательно, $NE \parallel LH$.

2. Для доказательства равенства $NE = LH$ рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle MNE$ и $\triangle KLH$. Угол $\angle NEM = 90^\circ$ и угол $\angle LHK = 90^\circ$.

3. $MNKL$ — параллелограмм, поэтому его противоположные стороны равны и параллельны. Отсюда следует, что $MN = LK$ и $MN \parallel LK$.

4. Так как прямые $MN$ и $LK$ параллельны, то при пересечении их секущей $MK$ образуются равные накрест лежащие углы: $\angle NMK = \angle LKM$.

5. Сравним треугольники $\triangle MNE$ и $\triangle KLH$. Они являются прямоугольными. Гипотенуза $MN$ треугольника $\triangle MNE$ равна гипотенузе $LK$ треугольника $\triangle KLH$. Острый угол $\angle NME$ (он же $\angle NMK$) равен острому углу $\angle LKH$ (он же $\angle LKM$).

6. Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle MNE$ и $\triangle KLH$ равны по гипотенузе и острому углу. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих катетов, то есть $NE = LH$.

Ответ: Доказано, что $NE \parallel LH$ и $NE = LH$.

в)

1. В параллелограмме $OPQR$ диагонали $OQ$ и $PR$ пересекаются в некоторой точке, пусть это будет точка $M$, и делятся этой точкой пополам. Это означает, что $M$ является серединой для каждой из диагоналей: $OM = MQ$ и $PM = MR$.

2. Точки $S$ и $T$ расположены на диагонали $OQ$. По условию задачи, длины отрезков $OS$ и $QT$ равны: $OS = QT$.

3. Рассмотрим отрезки $SM$ и $MT$, которые являются частями диагонали $ST$ четырехугольника $SPTR$.

4. Длина отрезка $SM$ может быть выражена как разность длин отрезков $OM$ и $OS$: $SM = OM - OS$.

5. Длина отрезка $MT$ может быть выражена как разность длин отрезков $MQ$ и $QT$: $MT = MQ - QT$.

6. Так как $OM = MQ$ (из свойства диагоналей параллелограмма) и $OS = QT$ (по условию), то правые части выражений для $SM$ и $MT$ равны. Следовательно, равны и левые части: $SM = MT$.

7. Равенство $SM = MT$ означает, что точка $M$ является серединой отрезка $ST$. Поскольку точка $M$ также является серединой отрезка $PR$, мы заключаем, что диагонали $ST$ и $PR$ четырехугольника $SPTR$ пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

8. Согласно признаку параллелограмма, если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник является параллелограммом.

9. Следовательно, $SPTR$ — параллелограмм.

Ответ: Доказано, что $SPTR$ — параллелограмм.