Номер 60, страница 32 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

60. Из вершины $A$ параллелограмма $ABCD$ проведена биссектриса этого угла, которая пересекает сторону $CD$ в точке $F$, а продолжение стороны $BC$ – в точке $E$. Докажите, что треугольник $CEF$ равнобедренный.

Поскольку четырёхугольник $ABCD$ является параллелограммом, его противолежащие стороны параллельны. Следовательно, $AD \parallel BC$ и $AB \parallel CD$.

1. Рассмотрим параллельные прямые $AD$ и $BE$ (прямая $BE$ содержит сторону $BC$) и секущую $AE$. Углы $\angle DAE$ и $\angle AEB$ являются накрест лежащими, а значит, они равны:

$\angle DAE = \angle AEB$.

2. Рассмотрим параллельные прямые $AB$ и $CD$ и секущую $AE$. Углы $\angle BAE$ и $\angle AFD$ являются накрест лежащими, поэтому $\angle BAE = \angle AFD$. Углы $\angle AFD$ и $\angle CFE$ являются вертикальными, поэтому они также равны: $\angle AFD = \angle CFE$. Из этих двух равенств следует, что:

$\angle BAE = \angle CFE$.

3. По условию, $AE$ — биссектриса угла $A$ (угла $\angle DAB$), поэтому она делит его на два равных угла:

$\angle DAE = \angle BAE$.

4. Сопоставим полученные равенства. Из $\angle DAE = \angle AEB$ и $\angle DAE = \angle BAE$ следует, что $\angle AEB = \angle BAE$. А из $\angle BAE = \angle CFE$ следует, что $\angle AEB = \angle CFE$.

Угол $\angle AEB$ является тем же углом, что и $\angle CEF$. Таким образом, в треугольнике $CEF$ мы имеем равенство углов:

$\angle CEF = \angle CFE$.

5. В треугольнике, у которого два угла равны, стороны, противолежащие этим углам, также равны. Следовательно, треугольник $CEF$ является равнобедренным с основанием $EF$ и равными боковыми сторонами $CE$ и $CF$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольник $CEF$ является равнобедренным.