Номер 59, страница 32 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

59. a) Дан параллелограмм $MNPK$, в котором $\angle P = 60^\circ$. Перпендикуляр $ND$, проведенный к стороне $MK$, делит ее на отрезки, равные 3 см и 5 см. Найдите стороны и углы параллелограмма.

б) Постройте параллелограмм $ABCD$ со сторонами $AB = 5$ см и $BC = 8$ см, если перпендикуляр $BH$, проведенный к стороне $AD$, делит ее пополам.

а)

Для решения задачи проанализируем условие. В параллелограмме $MNPK$ противоположные углы равны, а соседние в сумме дают $180^\circ$. Если вершины перечислены последовательно ($M, N, P, K$), то стороны это $MN, NP, PK, KM$. Противоположные углы — $\angle M$ и $\angle P$, $\angle N$ и $\angle K$.По условию $\angle P = 60^\circ$, следовательно, противолежащий ему угол $\angle M = 60^\circ$. Тогда соседние углы $\angle N = \angle K = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.В условии сказано, что перпендикуляр $ND$ проведен к стороне $MK$. В параллелограмме $MNPK$ отрезок $MK$ является диагональю, а не стороной. Вероятнее всего, в условии допущена опечатка, и перпендикуляр следовало провести к одной из сторон, выходящих из вершины $N$ или смежных с ней.Наиболее правдоподобный вариант — перпендикуляр $ND$ проведен к стороне $PK$. В этом случае точка $D$ лежит на прямой $PK$. Разберем этот случай.

Рассмотрим треугольник $\triangle NDP$. В нем $\angle D = 90^\circ$. Угол $\angle NPD$ является частью угла параллелограмма при вершине $P$. Однако, поскольку $D$ лежит на стороне $PK$, угол $\angle NPD$ — это угол между сторонами $NP$ и $PK$, то есть $\angle NPK$. Таким образом, $\angle NPD = \angle P = 60^\circ$.

По условию, точка $D$ делит сторону, к которой проведен перпендикуляр, на отрезки 3 см и 5 см. Это означает, что точка $D$ лежит на отрезке $PK$. Проверим, возможно ли это. Для этого необходимо, чтобы углы при основании $PK$ в треугольнике $\triangle NPK$ (то есть $\angle NPK$ и $\angle NKP$) были острыми. Мы знаем, что $\angle NPK = 60^\circ$ (острый). Угол $\angle K$ параллелограмма равен $120^\circ$, поэтому угол $\angle NKP$ будет частью этого угла и заведомо острым (что можно доказать через теорему косинусов, как показано ниже). Следовательно, наше предположение корректно.

Длина стороны $PK$ равна сумме длин отрезков, на которые ее делит точка $D$:
$PK = 3 + 5 = 8$ см.По свойству параллелограмма, $MN = PK = 8$ см.

Теперь найдем длину второй стороны. В прямоугольном треугольнике $\triangle NDP$ катет $PD$ связан с гипотенузой $NP$ соотношением:
$PD = NP \cdot \cos(\angle P) = NP \cdot \cos(60^\circ) = NP \cdot \frac{1}{2}$.Возможны два случая в зависимости от того, какой из отрезков равен $PD$.

Случай 1: $PD = 3$ см, $DK = 5$ см.
$3 = NP \cdot \frac{1}{2} \implies NP = 6$ см.Стороны параллелограмма равны 8 см и 6 см.

Случай 2: $PD = 5$ см, $DK = 3$ см.
$5 = NP \cdot \frac{1}{2} \implies NP = 10$ см.Стороны параллелограмма равны 8 см и 10 см.

Углы параллелограмма:
$\angle M = \angle P = 60^\circ$
$\angle N = \angle K = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$

Ответ: Существует два возможных решения.
1. Стороны параллелограмма равны 6 см и 8 см, углы равны $60^\circ$ и $120^\circ$.
2. Стороны параллелограмма равны 10 см и 8 см, углы равны $60^\circ$ и $120^\circ$.

б)

Построение параллелограмма $ABCD$ со сторонами $AB = 5$ см, $BC = 8$ см и перпендикуляром $BH$ к стороне $AD$, делящим ее пополам.

Анализ и вычисления:
1. В параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны равны, поэтому $AD = BC = 8$ см и $CD = AB = 5$ см.2. Перпендикуляр $BH$ проведен к стороне $AD$, значит $BH$ — высота параллелограмма, а $\triangle ABH$ — прямоугольный треугольник с прямым углом $\angle BHA$.3. Точка $H$ делит сторону $AD$ пополам. Следовательно, $H$ — середина $AD$.$AH = HD = \frac{AD}{2} = \frac{8}{2} = 4$ см.4. В прямоугольном треугольнике $\triangle ABH$ известны гипотенуза $AB = 5$ см и катет $AH = 4$ см. По теореме Пифагора найдем второй катет $BH$:
$BH^2 = AB^2 - AH^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9$.
$BH = \sqrt{9} = 3$ см.5. Заметим, что в треугольнике $\triangle ABD$ отрезок $BH$ является одновременно и высотой (по условию), и медианой (так как $H$ — середина $AD$). Треугольник, в котором высота и медиана, проведенные из одной вершины, совпадают, является равнобедренным. Следовательно, $\triangle ABD$ — равнобедренный с основанием $AD$, и $AB = BD = 5$ см.

План построения с помощью циркуля и линейки:
1. С помощью линейки построить отрезок $AD$ длиной 8 см.2. Найти и отметить середину $H$ отрезка $AD$. (Это можно сделать, измерив 4 см от точки $A$, или с помощью циркуля, построив серединный перпендикуляр).3. В точке $H$ восстановить перпендикуляр к отрезку $AD$.4. С помощью циркуля отмерить отрезок длиной 3 см ($BH$) на перпендикуляре от точки $H$ и отметить точку $B$. (Альтернативный способ найти точку $B$: установить раствор циркуля равным 5 см ($AB$), поместить острие в точку $A$ и провести дугу до пересечения с перпендикуляром).5. Теперь нужно найти четвертую вершину $C$. Это можно сделать несколькими способами:
а) Через точку $B$ провести прямую, параллельную $AD$. Через точку $D$ провести прямую, параллельную $AB$. Точка их пересечения — $C$.
б) С помощью циркуля. Установить раствор циркуля равным $BC = 8$ см, поместить острие в точку $B$ и провести дугу. Затем установить раствор циркуля равным $CD = 5$ см, поместить острие в точку $D$ и провести вторую дугу. Точка пересечения дуг — искомая вершина $C$.6. Соединить точки $A, B, C, D$ отрезками. Параллелограмм $ABCD$ построен.

Ответ: Построение выполняется согласно приведенному плану. Сначала строится основание $AD=8$ см, затем находится его середина $H$. Из точки $H$ восстанавливается перпендикуляр, на котором откладывается высота $BH=3$ см, что позволяет найти вершину $B$. Вершина $C$ находится как пересечение дуг окружностей с центрами в точках $B$ и $D$ и радиусами $BC=8$ см и $CD=5$ см соответственно.