Номер 62, страница 35 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

62. Из предложенных утверждений выберите и докажите теорему, которая является обратной к теореме – противоположные стороны параллелограмма равны:

а) если противоположные стороны четырехугольника равны, то он является параллелограммом;

б) если хотя бы две стороны четырехугольника равны, то это параллелограмм;

в) если в четырехугольнике противоположные стороны не равны, то он не является параллелограммом.

Для начала определим, что такое обратная теорема. Если дана прямая теорема в виде «Если A, то B», то обратной к ней будет теорема «Если B, то A». В нашем случае прямая теорема звучит так: «Если четырехугольник является параллелограммом (условие A), то его противоположные стороны равны (заключение B)».

Следовательно, обратная теорема должна звучать так: «Если у четырехугольника противоположные стороны равны (условие B), то он является параллелограммом (заключение A)».

Теперь рассмотрим предложенные утверждения.

а) если противоположные стороны четырехугольника равны, то он является параллелограммом;

Это утверждение полностью соответствует формулировке обратной теоремы. Докажем его.

Теорема: Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Дано: ABCD — четырехугольник, в котором $AB = CD$ и $BC = DA$.

Доказать: ABCD — параллелограмм.

Доказательство:

1. Проведем диагональ AC. Она разделяет четырехугольник ABCD на два треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$.

2. Рассмотрим эти треугольники.

- $AB = CD$ (по условию)

- $BC = DA$ (по условию)

- AC — общая сторона

3. Таким образом, $\triangle ABC = \triangle CDA$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

4. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов:

- $\angle BCA = \angle DAC$. Эти углы являются внутренними накрест лежащими при пересечении прямых BC и AD секущей AC. Так как эти углы равны, то прямые BC и AD параллельны ($BC \parallel AD$).

- $\angle BAC = \angle DCA$. Эти углы являются внутренними накрест лежащими при пересечении прямых AB и CD секущей AC. Так как эти углы равны, то прямые AB и CD параллельны ($AB \parallel CD$).

5. Поскольку в четырехугольнике ABCD противоположные стороны попарно параллельны, то по определению он является параллелограммом. Теорема доказана.

Ответ: Утверждение а) является теоремой, обратной к теореме о равенстве противоположных сторон параллелограмма. Оно верно и доказано выше.

б) если хотя бы две стороны четырехугольника равны, то это параллелограмм;

Это утверждение не является обратной теоремой. Кроме того, оно ложно. В качестве контрпримера можно привести равнобедренную трапецию, у которой равны боковые (не противоположные) стороны, но она не является параллелограммом. Или воздушный змей (дельтоид), у которого равны две пары смежных сторон.

Ответ: Утверждение б) не является обратной теоремой и является ложным.

в) если в четырехугольнике противоположные стороны не равны, то он не является параллелограммом.

Это утверждение не является обратной теоремой. Оно называется теоремой, противоположной обратной, или контрапозицией к исходной (прямой) теореме. Если прямая теорема имеет вид «Если А, то В», то контрапозиция — «Если не В, то не А». Контрапозиция всегда верна, если верна прямая теорема, но это не обратная теорема.

Ответ: Утверждение в) не является обратной теоремой.