Номер 67, страница 37 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

67. a) В прямоугольнике $ABCD$ проведены биссектрисы углов $A$ и $C$, которые пересекают стороны $BC$ и $AD$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Установите вид четырехугольника $AMCN$.

б) Дан параллелограмм $KBFD$. На его сторонах $BF$ и $KD$ отмечены соответственно точки $C$ и $A$ такие, что $\angle ABK = \angle CDF$. Докажите, что $ABCD$ – параллелограмм.

в) В кубе $ABCD,B_1C_1D_1$ на его ребрах $BC$ и $DA$ отложены равные отрезки $BM$ и $DK$. Докажите, что четырехугольник $AMCK$ – параллелограмм.

а)

В прямоугольнике $ABCD$ противоположные стороны параллельны, поэтому $AD \parallel BC$. Так как точки $N$ и $M$ лежат на сторонах $AD$ и $BC$ соответственно, то отрезки $AN$ и $MC$ также лежат на параллельных прямых, следовательно, $AN \parallel MC$.

Поскольку $ABCD$ — прямоугольник, его углы $\angle A$ и $\angle C$ равны $90^\circ$. $AM$ и $CN$ — биссектрисы этих углов, поэтому они делят их пополам:

$\angle DAM = \angle BAM = \frac{1}{2} \angle A = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$

$\angle BCM = \angle DCN = \frac{1}{2} \angle C = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABM$ (где $\angle B = 90^\circ$). Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, поэтому $\angle AMB = 90^\circ - \angle BAM = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Так как углы при основании $AM$ равны, $\triangle ABM$ является равнобедренным, и $AB = BM$.

Аналогично рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CDN$ ($\angle D = 90^\circ$). $\angle CND = 90^\circ - \angle DCN = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Следовательно, $\triangle CDN$ также является равнобедренным, и $CD = DN$.

В прямоугольнике $ABCD$ противоположные стороны равны: $AB=CD$ и $AD=BC$.

Так как $AB = BM$ и $CD = DN$, а $AB=CD$, то $BM = DN$.

Теперь сравним длины сторон $AN$ и $MC$ четырехугольника $AMCN$:

$AN = AD - DN$

$MC = BC - BM$

Поскольку $AD=BC$ и $DN=BM$, мы заключаем, что $AN=MC$.

В четырехугольнике $AMCN$ противоположные стороны $AN$ и $MC$ параллельны и равны. По признаку параллелограмма, если две противоположные стороны четырехугольника равны и параллельны, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Ответ: Четырехугольник $AMCN$ является параллелограммом.

б)

Поскольку $KBFD$ — параллелограмм, его противоположные стороны параллельны и равны. В частности, $KD \parallel BF$ и $KD = BF$.

Рассмотрим четырехугольник $ABCD$. Его сторона $AD$ лежит на прямой $KD$, а сторона $BC$ — на прямой $BF$. Так как $KD \parallel BF$, то и $AD \parallel BC$.

Чтобы доказать, что $ABCD$ — параллелограмм, достаточно доказать, что $AD = BC$.

Рассмотрим треугольники $\triangle KAB$ и $\triangle FDC$.

1. $KB = FD$ (как противоположные стороны параллелограмма $KBFD$).

2. $\angle DKB = \angle BFD$ (как противоположные углы параллелограмма $KBFD$). Поскольку $A$ лежит на $KD$ и $C$ на $BF$, эти углы можно записать как $\angle AKB = \angle CFD$.

3. $\angle ABK = \angle CDF$ (по условию задачи).

Таким образом, треугольники $\triangle KAB$ и $\triangle FDC$ равны по стороне и двум прилежащим углам (по второму признаку равенства треугольников, AAS). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $KA = FC$.

Теперь найдем длины сторон $AD$ и $BC$.

$AD = KD - KA$

$BC = BF - CF$

Мы знаем, что $KD = BF$ (противоположные стороны параллелограмма) и только что доказали, что $KA = FC$. Подставляя эти равенства, получаем $AD = BC$.

В четырехугольнике $ABCD$ противоположные стороны $AD$ и $BC$ параллельны ($AD \parallel BC$) и равны ($AD = BC$). Следовательно, по признаку параллелограмма, $ABCD$ является параллелограммом.

Ответ: Доказано, что $ABCD$ — параллелограмм.

в)

Вершины четырехугольника $AMCK$ — это точки $A$ и $C$, а также точки $M$ на ребре $BC$ и $K$ на ребре $DA$. Все эти точки лежат в одной плоскости — плоскости грани $ABCD$ куба.

Грань $ABCD$ куба является квадратом. В квадрате противоположные стороны равны и параллельны, то есть $DA = BC$ и $DA \parallel BC$.

Рассмотрим четырехугольник $AMCK$.

Его сторона $AK$ является частью стороны квадрата $DA$, а сторона $MC$ — частью стороны $BC$. Поскольку прямые $DA$ и $BC$ параллельны, то и отрезки $AK$ и $MC$, лежащие на них, также параллельны: $AK \parallel MC$.

Теперь сравним длины этих сторон. Так как точка $K$ лежит на отрезке $DA$, то длина отрезка $AK$ равна $DA - DK$. Аналогично, точка $M$ лежит на отрезке $BC$, поэтому $MC = BC - BM$.

По условию задачи, $BM = DK$.

Из свойств квадрата мы знаем, что $DA = BC$.

Таким образом, мы можем записать: $AK = DA - DK = BC - BM = MC$.

Получается, что в четырехугольнике $AMCK$ противоположные стороны $AK$ и $MC$ равны и параллельны.

По признаку параллелограмма, если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Ответ: Доказано, что четырехугольник $AMCK$ — параллелограмм.