Номер 72, страница 40 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

72. a) Периметр прямоугольника равен 48 см. Найдите его стороны, если они относятся как $1:2$.

б) Биссектриса угла A прямоугольника ABCD делит сторону BC на части 2 см и 6 см. Найдите периметр прямоугольника.

в) Найдите меньший из углов между диагоналями прямоугольника, если его меньшая сторона относится к диагонали как $1:2$.

а)Пусть стороны прямоугольника равны $a$ и $b$. Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$. По условию, $P = 48$ см.
Также известно, что стороны относятся как 1:2. Пусть $a = x$ см, тогда $b = 2x$ см.
Подставим эти значения в формулу периметра:
$48 = 2(x + 2x)$
$48 = 2(3x)$
$48 = 6x$
$x = 48 / 6$
$x = 8$
Таким образом, одна сторона $a = 8$ см.
Вторая сторона $b = 2x = 2 \cdot 8 = 16$ см.
Ответ: 8 см и 16 см.

б)Пусть в прямоугольнике $ABCD$ проведена биссектриса угла $A$, которая пересекает сторону $BC$ в точке $K$.
Поскольку $AK$ — биссектриса, она делит прямой угол $\angle A$ (равный 90°) на два равных угла: $\angle BAK = \angle KAD = 45°$.
Рассмотрим треугольник $\triangle ABK$. Он является прямоугольным, так как $\angle B = 90°$. Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому $\angle BKA = 180° - 90° - 45° = 45°$.
Так как углы при основании $AK$ равны ($\angle BAK = \angle BKA = 45°$), треугольник $\triangle ABK$ является равнобедренным, и, следовательно, $AB = BK$.
По условию, точка $K$ делит сторону $BC$ на отрезки 2 см и 6 см. Возможны два случая.
Случай 1: $BK = 2$ см и $KC = 6$ см.
Тогда сторона $AB = BK = 2$ см.
Сторона $BC = BK + KC = 2 + 6 = 8$ см.
Периметр прямоугольника $P = 2(AB + BC) = 2(2 + 8) = 2 \cdot 10 = 20$ см.
Случай 2: $BK = 6$ см и $KC = 2$ см.
Тогда сторона $AB = BK = 6$ см.
Сторона $BC = BK + KC = 6 + 2 = 8$ см.
Периметр прямоугольника $P = 2(AB + BC) = 2(6 + 8) = 2 \cdot 14 = 28$ см.
Ответ: 20 см или 28 см.

в)Пусть меньшая сторона прямоугольника $a$, а его диагональ $d$. По условию, $a:d = 1:2$, откуда $d = 2a$.
Пусть прямоугольник $ABCD$ с меньшей стороной $AB = a$. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.
В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, $AC = BD = d$, а $AO = BO = CO = DO = d/2$.
Подставим значение $d=2a$: $AO = BO = (2a)/2 = a$.
Рассмотрим треугольник $\triangle ABO$. Его стороны равны: $AB = a$, $AO = a$, $BO = a$.
Следовательно, $\triangle ABO$ — равносторонний. В равностороннем треугольнике все углы равны 60°.
Угол $\angle AOB$ является одним из углов между диагоналями, и он равен 60°.
Смежный с ним угол $\angle BOC = 180° - \angle AOB = 180° - 60° = 120°$.
Меньший из углов между диагоналями (60° и 120°) равен 60°.
Ответ: 60°.