Вопросы, страница 43 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

1. Докажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

2. Сформулируйте и докажите один из признаков ромба.

3. Приведите примеры фигур, имеющих:

а) одну;

б) две;

в) три;

г) четыре оси симметрии;

д) бесконечно много осей симметрии.

1. Докажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

Решение

Пусть дан ромб $ABCD$ с диагоналями $AC$ и $BD$, пересекающимися в точке $O$.

Так как ромб является параллелограммом, его диагонали точкой пересечения делятся пополам, то есть $AO = OC$ и $BO = OD$.

Все стороны ромба равны: $AB = BC = CD = DA$.

Рассмотрим треугольники $AOB$ и $COB$. У них: $AB = BC$ (стороны ромба); $BO$ - общая сторона; $AO = CO$ (диагонали параллелограмма делятся пополам). Следовательно, треугольники $AOB$ и $COB$ равны по трем сторонам (признак $SSS$), то есть $\triangle AOB \cong \triangle COB$.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle AOB = \angle COB$. Поскольку эти углы являются смежными и их сумма равна $180^\circ$, то $\angle AOB = \angle COB = 180^\circ / 2 = 90^\circ$. Таким образом, диагонали ромба взаимно перпендикулярны.

Также из равенства треугольников $\triangle AOB \cong \triangle COB$ следует, что $\angle ABO = \angle CBO$. Это означает, что диагональ $BD$ делит угол $\angle ABC$ пополам.

Аналогично, рассмотрим треугольники $BAO$ и $DAO$. У них: $AB = AD$ (стороны ромба); $AO$ - общая сторона; $BO = DO$ (диагонали параллелограмма делятся пополам). Следовательно, треугольники $BAO$ и $DAO$ равны по трем сторонам (признак $SSS$), то есть $\triangle BAO \cong \triangle DAO$.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle BAO = \angle DAO$. Это означает, что диагональ $AC$ делит угол $\angle BAD$ пополам.

Поскольку ромб обладает центральной симметрией и осевой симметрией относительно своих диагоналей, доказанное для углов $\angle ABC$ и $\angle BAD$ справедливо и для остальных углов ромба.

Ответ: Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам, что было доказано выше.

2. Сформулируйте и докажите один из признаков ромба.

Решение

Сформулируем следующий признак ромба: "Если в параллелограмме диагонали взаимно перпендикулярны, то такой параллелограмм является ромбом".

Доказательство:

Пусть дан параллелограмм $ABCD$, у которого диагонали $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$. Пусть $O$ - точка пересечения диагоналей.

Так как $ABCD$ - параллелограмм, его диагонали точкой пересечения делятся пополам: $AO = OC$ и $BO = OD$.

Рассмотрим треугольники $AOB$ и $COB$. У них: $AO = CO$ (диагонали параллелограмма делятся пополам); $\angle AOB = \angle COB = 90^\circ$ (по условию перпендикулярности диагоналей); $BO$ - общая сторона. Следовательно, треугольники $AOB$ и $COB$ равны по двум сторонам и углу между ними (признак $SAS$), то есть $\triangle AOB \cong \triangle COB$.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: $AB = CB$.

Поскольку в параллелограмме противоположные стороны равны ($AB = CD$ и $BC = AD$), а мы доказали, что две смежные стороны равны ($AB = CB$), то все стороны параллелограмма $ABCD$ равны между собой: $AB = BC = CD = DA$.

По определению, параллелограмм, у которого все стороны равны, является ромбом.

Таким образом, доказано, что если в параллелограмме диагонали взаимно перпендикулярны, то это ромб.

Ответ: Сформулирован и доказан признак ромба: "Если в параллелограмме диагонали взаимно перпендикулярны, то такой параллелограмм является ромбом".

3. Приведите примеры фигур, имеющих: а) одну; б) две; в) три; г) четыре оси симметрии; д) бесконечно много осей симметрии.

а) одну:

Равнобедренный треугольник (не равносторонний), равнобедренная трапеция (не прямоугольник), парабола.

б) две:

Прямоугольник (не квадрат), ромб (не квадрат), эллипс (не круг).

в) три:

Равносторонний треугольник.

г) четыре:

Квадрат.

д) бесконечно много осей симметрии:

Круг.

Ответ: Примеры фигур с указанным количеством осей симметрии приведены выше.