Номер 81, страница 44 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

81. a) Треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$. Точка $B_1$ симметрична точке $B$ относительно прямой $AC$. Докажите, что четырехугольник $ABCB_1$ - ромб.

б) Четырехугольник $ABCD$ симметричен относительно прямой $AC$. Найдите стороны $BC$ и $AD$, если $AB = 1$ дм, $CD = 2$ дм.

а)

По условию, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$, следовательно, его боковые стороны равны: $AB = BC$.

Точка $B_1$ симметрична точке $B$ относительно прямой $AC$. Это означает, что прямая $AC$ является осью симметрии для точек $B$ и $B_1$. По определению осевой симметрии, расстояние от любой точки на оси симметрии до симметричных точек одинаково.

Точка $A$ лежит на оси симметрии $AC$, поэтому расстояние от нее до точки $B$ равно расстоянию до точки $B_1$. Таким образом, $AB = AB_1$.

Аналогично, точка $C$ лежит на оси симметрии $AC$, поэтому $CB = CB_1$.

Теперь объединим полученные равенства:

$AB = BC$ (так как $\triangle ABC$ равнобедренный).

$AB = AB_1$ (из свойства симметрии).

$BC = CB_1$ (из свойства симметрии).

Из этих равенств следует, что все четыре стороны четырехугольника $ABCB_1$ равны между собой: $AB = BC = CB_1 = B_1A$.

Четырехугольник, у которого все стороны равны, называется ромбом. Следовательно, четырехугольник $ABCB_1$ — ромб, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что четырехугольник $ABCB_1$ является ромбом.

б)

По условию, четырехугольник $ABCD$ симметричен относительно прямой $AC$. Это означает, что прямая $AC$ является его осью симметрии.

При осевой симметрии относительно прямой $AC$ вершины $A$ и $C$, лежащие на оси, отображаются сами в себя, а вершина $B$ отображается в вершину $D$ (и наоборот, $D$ в $B$).

Осевая симметрия является движением, то есть сохраняет расстояния между точками. Это означает, что отрезок $AB$ при симметрии отображается на отрезок $AD$. Следовательно, их длины равны: $AB = AD$.

Аналогично, отрезок $BC$ при симметрии отображается на отрезок $DC$. Следовательно, их длины также равны: $BC = DC$.

По условию задачи нам даны длины сторон: $AB = 1$ дм и $CD = 2$ дм.

Используя выведенные равенства, находим искомые стороны:

$AD = AB = 1$ дм.

$BC = DC = 2$ дм.

Ответ: $BC = 2$ дм, $AD = 1$ дм.