Номер 83, страница 46 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

83. a) В параллелограмме диагонали взаимно перпендикулярны. Можно ли утверждать, что такой четырехугольник является квадратом?

б) Дан равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$. Из вершины его прямого угла $C$ проведена биссектриса $CD$ и перпендикуляры $DM$ и $DN$ к сторонам $AC$ и $BC$ соответственно. Установите вид четырехугольника $DMCN$.

а) Параллелограмм, у которого диагонали взаимно перпендикулярны, является ромбом. Докажем это. Пусть в параллелограмме $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$ под прямым углом. Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COB$. У них сторона $BO$ — общая, $AO = OC$ (по свойству диагоналей параллелограмма), а углы $\angle AOB = \angle COB = 90^{\circ}$ (по условию). Следовательно, $\triangle AOB = \triangle COB$ по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников следует равенство их сторон: $AB = BC$. Так как в параллелограмме противолежащие стороны равны ($AB = CD$ и $BC = AD$), то все стороны этого параллелограмма равны: $AB = BC = CD = DA$. Четырехугольник, у которого все стороны равны, является ромбом.

Однако ромб не всегда является квадратом. Квадрат — это частный случай ромба, у которого все углы прямые. Условие перпендикулярности диагоналей не гарантирует, что углы самого параллелограмма равны $90^{\circ}$. Например, ромб с острым углом $60^{\circ}$ и тупым углом $120^{\circ}$ является параллелограммом с перпендикулярными диагоналями, но не является квадратом.

Таким образом, утверждать, что такой четырехугольник является квадратом, нельзя. Он обязательно будет ромбом, но может и не быть квадратом.

Ответ: Нет, нельзя. Такой четырехугольник является ромбом, но не обязательно квадратом.

б) Рассмотрим четырехугольник $DMCN$.

1. По условию, треугольник $ABC$ — прямоугольный с прямым углом $C$, следовательно, $\angle ACB = 90^{\circ}$. В четырехугольнике $DMCN$ этот угол является углом $\angle MCN$, то есть $\angle MCN = 90^{\circ}$.

2. По условию, $DM \perp AC$ и $DN \perp BC$. Это означает, что углы $\angle DMC$ и $\angle DNC$ являются прямыми: $\angle DMC = 90^{\circ}$ и $\angle DNC = 90^{\circ}$.

3. Сумма углов в четырехугольнике равна $360^{\circ}$. В четырехугольнике $DMCN$ три угла нам известны, они прямые. Найдем четвертый угол: $\angle MDN = 360^{\circ} - \angle MCN - \angle DMC - \angle DNC = 360^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$.

4. Четырехугольник, у которого все углы прямые, является прямоугольником. Следовательно, $DMCN$ — прямоугольник.

5. Теперь выясним, является ли этот прямоугольник квадратом. Для этого нужно проверить, равны ли его смежные стороны. По условию, $CD$ — биссектриса прямого угла $C$. Значит, она делит его на два равных угла: $\angle MCD = \angle NCD = 90^{\circ} / 2 = 45^{\circ}$.

6. Рассмотрим прямоугольный треугольник $CDM$. В нем $\angle DMC = 90^{\circ}$ и $\angle MCD = 45^{\circ}$. Сумма углов треугольника равна $180^{\circ}$, поэтому третий угол $\angle CDM = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}$. Так как два угла в треугольнике $CDM$ равны ($\angle MCD = \angle CDM = 45^{\circ}$), то он является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов, равны: $CM = DM$.

7. Мы доказали, что $DMCN$ — это прямоугольник, у которого две смежные стороны ($CM$ и $DM$) равны. Прямоугольник с равными смежными сторонами является квадратом.

Ответ: Четырехугольник $DMCN$ является квадратом.