Номер 85, страница 47 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

85. a)

Диагональ $AC$ квадрата $ABCD$ равна 18,4 см. Через вершину $A$ проведена прямая, перпендикулярная $AC$ и пересекающая прямые $BC$ и $CD$ соответственно в точках $M$ и $N$. Найдите длину отрезка $MN$.

б)

Через вершины квадрата проведены прямые, параллельные его диагоналям, которые, пересекаясь, образуют четырехугольник. Установите его вид и найдите периметр четырехугольника, если диагональ квадрата равна 4,5 см.

а)

Пусть дан квадрат $ABCD$. Диагональ $AC = 18,4$ см. Через вершину $A$ проведена прямая $l$, перпендикулярная диагонали $AC$. Прямая $l$ пересекает прямые $BC$ и $CD$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Требуется найти длину отрезка $MN$.

1. Рассмотрим треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle ADN$.

2. В квадрате $ABCD$ все стороны равны, т.е. $AB = AD$. Все углы прямые, т.е. $\angle ABC = \angle ADC = 90^\circ$.

3. Точка $M$ лежит на прямой $BC$, поэтому угол $\angle ABM$ является смежным с углом $\angle ABC$ или совпадает с ним. В любом случае, прямая $AB$ перпендикулярна прямой $BC$, поэтому $\angle ABM = 90^\circ$. Аналогично, точка $N$ лежит на прямой $CD$, поэтому $\angle ADN = 90^\circ$.

4. Диагональ $AC$ является биссектрисой угла $\angle DAB$, поэтому $\angle BAC = \angle DAC = 45^\circ$.

5. Прямая $MN$ по условию перпендикулярна прямой $AC$. Рассмотрим угол между прямой $MN$ (конкретнее, лучом $AM$) и прямой $AB$. Этот угол $\angle MAB$ можно найти, зная углы, которые эти прямые образуют с прямой $AC$. $\angle(MN, AC) = 90^\circ$. Угол между $AB$ и $AC$ равен $\angle BAC = 45^\circ$. Так как точки $M$, $A$, $N$ лежат на одной прямой, а луч $AC$ разделяет угол, образованный прямыми $BC$ и $CD$, то лучи $AM$ и $AN$ направлены в разные стороны от точки $A$. Из геометрического расположения прямых следует, что угол между лучом $AM$ и лучом $AB$ равен $\angle MAB = |\angle(MN, AC) - \angle(AB, AC)| = |90^\circ - 45^\circ| = 45^\circ$. Аналогично, угол между лучом $AN$ и лучом $AD$ равен $\angle NAD = |\angle(MN, AC) - \angle(AD, AC)| = |90^\circ - 45^\circ| = 45^\circ$.

6. Теперь сравним прямоугольные треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle ADN$. У них:

• $AB = AD$ (как стороны квадрата).
• $\angle ABM = \angle ADN = 90^\circ$ (доказано ранее).
• $\angle MAB = \angle NAD = 45^\circ$ (доказано ранее).

Следовательно, $\triangle ABM \cong \triangle ADN$ по катету и прилежащему острому углу.

7. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: $AM = AN$.

8. В прямоугольном треугольнике $\triangle ABM$ угол $\angle MAB = 45^\circ$, значит, он равнобедренный, и $BM = AB$. По теореме Пифагора (или через косинус):$AM = \frac{AB}{\cos(45^\circ)} = \frac{AB}{1/\sqrt{2}} = AB \cdot \sqrt{2}$.

9. Диагональ квадрата $AC$ связана с его стороной $AB$ формулой $AC = AB \cdot \sqrt{2}$.

10. Таким образом, $AM = AC = 18,4$ см. Так как $AM = AN$, то и $AN = 18,4$ см.

11. Точки $M$, $A$, $N$ лежат на одной прямой, причем $A$ находится между $M$ и $N$. Длина отрезка $MN$ равна сумме длин отрезков $AM$ и $AN$.$MN = AM + AN = 18,4 + 18,4 = 36,8$ см.

Ответ: $36,8$ см.

б)

Пусть дан квадрат $ABCD$, длина его диагоналей $d = AC = BD = 4,5$ см. Через вершины $A$ и $C$ проведены прямые, параллельные диагонали $BD$. Через вершины $B$ и $D$ проведены прямые, параллельные диагонали $AC$. Эти четыре прямые образуют новый четырехугольник, назовем его $PQRS$.

1. Установление вида четырехугольника.

По построению, две противоположные стороны четырехугольника $PQRS$ параллельны диагонали $AC$, а две другие — параллельны диагонали $BD$. Так как в каждой паре стороны параллельны друг другу, четырехугольник $PQRS$ является параллелограммом.

Диагонали квадрата $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны, т.е. $AC \perp BD$.

Так как стороны параллелограмма $PQRS$ параллельны диагоналям квадрата, то смежные стороны $PQRS$ также взаимно перпендикулярны. Параллелограмм, у которого все углы прямые, является прямоугольником.

Теперь найдем длины сторон этого прямоугольника. Одна сторона прямоугольника (например, $PQ$) — это расстояние между прямыми, проведенными через вершины $A$ и $C$ параллельно $BD$. Это расстояние равно длине перпендикуляра, опущенного из одной прямой на другую. Диагональ $AC$ перпендикулярна диагонали $BD$, а значит, и проведенным прямым. Следовательно, длина отрезка $AC$ является расстоянием между этими прямыми. Таким образом, длина одной стороны прямоугольника равна $AC = d = 4,5$ см.

Аналогично, длина смежной стороны прямоугольника (например, $QR$) — это расстояние между прямыми, проведенными через вершины $B$ и $D$ параллельно $AC$. Это расстояние равно длине диагонали $BD$. Таким образом, длина смежной стороны равна $BD = d = 4,5$ см.

Поскольку смежные стороны прямоугольника равны, этот прямоугольник является квадратом.

2. Нахождение периметра.

Мы установили, что образовавшийся четырехугольник является квадратом со стороной, равной диагонали исходного квадрата, то есть $a_{new} = d = 4,5$ см.

Периметр квадрата $PQRS$ вычисляется по формуле $P = 4 \cdot a_{new}$.$P = 4 \cdot 4,5 = 18$ см.

Ответ: Образовавшийся четырехугольник является квадратом. Его периметр равен $18$ см.