Номер 90, страница 49 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

90. a) Докажите, что диагонали трапеции в точке пересечения не делятся пополам.

б) Докажите, что четырехугольник, вершинами которого являются середины сторон равнобедренной трапеции, параллелограмм.

а) Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, причем $AD \parallel BC$. Пусть диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Докажем утверждение методом от противного. Предположим, что диагонали в точке пересечения делятся пополам, то есть $AO = OC$ и $BO = OD$. Если диагонали четырехугольника в точке пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник является параллелограммом. В таком случае, у четырехугольника $ABCD$ должны быть попарно параллельны противоположные стороны, то есть не только $AD \parallel BC$ (по определению трапеции), но и $AB \parallel CD$. Однако четырехугольник с двумя парами параллельных сторон является параллелограммом, а не трапецией (в стандартном определении трапеция имеет только одну пару параллельных сторон). Таким образом, мы пришли к противоречию с условием, что $ABCD$ — трапеция. Следовательно, наше первоначальное предположение неверно, и диагонали трапеции не делятся точкой пересечения пополам.
Другой способ доказательства использует подобные треугольники. Рассмотрим треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle COB$. Углы $\angle AOD$ и $\angle COB$ равны как вертикальные. Углы $\angle CAD$ и $\angle ACB$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $AC$. Аналогично, $\angle BDA = \angle CBD$. Следовательно, $\triangle AOD \sim \triangle COB$ по двум углам. Из подобия следует пропорциональность сторон: $\frac{AO}{CO} = \frac{DO}{BO} = \frac{AD}{BC}$. Так как в трапеции основания не равны ($AD \neq BC$), то коэффициент подобия $\frac{AD}{BC} \neq 1$. Это означает, что $\frac{AO}{CO} \neq 1$ и $\frac{DO}{BO} \neq 1$, откуда $AO \neq CO$ и $DO \neq BO$.
Ответ: Что и требовалось доказать.

б) Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Пусть точки $K, L, M, N$ являются серединами сторон $AB, BC, CD, DA$ соответственно. Нужно доказать, что четырехугольник $KLMN$ — параллелограмм.
Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Отрезок $KL$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$. По теореме о средней линии треугольника, отрезок $KL$ параллелен стороне $AC$ и равен ее половине: $KL \parallel AC$ и $KL = \frac{1}{2}AC$.
Теперь рассмотрим треугольник $\triangle ADC$. Отрезок $NM$ соединяет середины сторон $DA$ и $CD$. По той же теореме о средней линии, $NM$ параллелен стороне $AC$ и равен ее половине: $NM \parallel AC$ и $NM = \frac{1}{2}AC$.
Из полученных соотношений следует, что $KL \parallel NM$ (так как оба отрезка параллельны $AC$) и $KL = NM$ (так как оба отрезка равны $\frac{1}{2}AC$).
В четырехугольнике $KLMN$ противоположные стороны $KL$ и $NM$ равны и параллельны. По признаку параллелограмма, если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм. Таким образом, $KLMN$ является параллелограммом.
Стоит отметить, что данное доказательство справедливо для любого четырехугольника. Особенность равнобедренной трапеции заключается в том, что ее диагонали равны ($AC = BD$). Так как $KN$ является средней линией треугольника $\triangle ABD$, то $KN = \frac{1}{2}BD$. Поскольку $AC=BD$, то $KL = KN$, а это означает, что у параллелограмма $KLMN$ смежные стороны равны, следовательно, он является ромбом.
Ответ: Что и требовалось доказать.