Номер 93, страница 49 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

93. Найдите углы равнобедренной трапеции ABCD с большим основанием AD, если $\angle C - \angle A = 80^\circ$.

Дано: $ABCD$ — равнобедренная трапеция, $AD$ — большее основание, $\angle C - \angle A = 80^\circ$.
Найти: $\angle A, \angle B, \angle C, \angle D$.

Решение:

В любой трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^\circ$. Поскольку $AD$ и $BC$ являются основаниями, они параллельны ($AD \parallel BC$), а $AB$ и $CD$ — боковые стороны. Следовательно, сумма углов при боковой стороне $AB$ равна $180^\circ$: $\angle A + \angle B = 180^\circ$.

В равнобедренной трапеции углы при основаниях равны. Это значит, что углы при большем основании $AD$ равны между собой, и углы при меньшем основании $BC$ также равны между собой: $\angle A = \angle D$
$\angle B = \angle C$

Используя равенство $\angle B = \angle C$, мы можем записать сумму углов при боковой стороне $CD$ как $\angle A + \angle C = 180^\circ$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений, одно из свойств трапеции, а другое из условия задачи:

1. $\angle A + \angle C = 180^\circ$
2. $\angle C - \angle A = 80^\circ$

Сложим эти два уравнения, чтобы найти $\angle C$:
$(\angle A + \angle C) + (\angle C - \angle A) = 180^\circ + 80^\circ$
$2\angle C = 260^\circ$
$\angle C = \frac{260^\circ}{2}$
$\angle C = 130^\circ$

Теперь подставим значение $\angle C$ в первое уравнение, чтобы найти $\angle A$:
$\angle A + 130^\circ = 180^\circ$
$\angle A = 180^\circ - 130^\circ$
$\angle A = 50^\circ$

Зная углы $\angle A$ и $\angle C$, и используя свойство равнобедренной трапеции об углах при основаниях, находим остальные углы:
$\angle D = \angle A = 50^\circ$
$\angle B = \angle C = 130^\circ$

Ответ: $\angle A = 50^\circ, \angle B = 130^\circ, \angle C = 130^\circ, \angle D = 50^\circ$.