Номер 99, страница 52 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

99.Постройте с помощью циркуля и линейки параллелограмм:

а) по двум соседним сторонам и углу между ними;

б) по данным диагоналям и углу между ними.

а) по двум соседним сторонам и углу между ними

Пусть даны два отрезка, представляющие собой соседние стороны параллелограмма, назовем их длины $a$ и $b$, и угол $\alpha$ между ними.

Алгоритм построения:

1. С помощью линейки строим произвольный луч с началом в точке A.
2. От этого луча откладываем угол, равный данному углу $\alpha$. Пусть второй стороной этого угла будет другой луч, исходящий из точки A. Таким образом, мы построили угол, равный $\alpha$, с вершиной в точке A.
3. На одном из построенных лучей от точки A откладываем с помощью циркуля отрезок AD, равный по длине стороне $b$.
4. На втором луче от точки A откладываем с помощью циркуля отрезок AB, равный по длине стороне $a$.
5. Теперь необходимо найти четвертую вершину C. Мы знаем, что противоположные стороны параллелограмма равны, то есть $DC = AB = a$ и $BC = AD = b$.
6. Строим окружность с центром в точке D и радиусом, равным $a$.
7. Строим окружность с центром в точке B и радиусом, равным $b$.
8. Точка пересечения этих двух окружностей (та, что лежит в той же полуплоскости относительно прямой BD, что и точка А, не является искомой) будет четвертой вершиной параллелограмма C.
9. С помощью линейки соединяем точки B и C, а также D и C.

В результате построен четырехугольник ABCD. По построению, его стороны $AB$ и $AD$ равны данным отрезкам $a$ и $b$ соответственно, а угол между ними $\angle DAB$ равен данному углу $\alpha$. Также, по построению, $DC = a$ и $BC = b$. Поскольку в четырехугольнике ABCD противоположные стороны попарно равны ($AB = DC$ и $AD = BC$), он является параллелограммом. Таким образом, построенный параллелограмм удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Построенный четырехугольник ABCD является искомым параллелограммом.

б) по данным диагоналям и углу между ними

Пусть даны два отрезка, представляющие собой диагонали параллелограмма, назовем их длины $d_1$ и $d_2$, и угол $\gamma$ между ними. Используем свойство параллелограмма: его диагонали в точке пересечения делятся пополам.

Алгоритм построения:

1. Сначала необходимо найти половины длин данных диагоналей. Для этого делим каждый из отрезков $d_1$ и $d_2$ пополам с помощью циркуля и линейки. (Для этого для каждого отрезка из его концов проводим две дуги окружности радиусом, большим половины длины отрезка. Прямая, соединяющая точки пересечения этих дуг, пересечет отрезок ровно посередине). В результате получаем отрезки длиной $d_1/2$ и $d_2/2$.
2. С помощью линейки строим произвольную прямую и выбираем на ней произвольную точку O — это будет точка пересечения диагоналей.
3. Строим вторую прямую, проходящую через точку O под углом $\gamma$ к первой прямой.
4. На первой прямой от точки O в обе стороны откладываем с помощью циркуля отрезки длиной $d_1/2$. Получаем вершины A и C. Таким образом, мы построили диагональ $AC = d_1$, и она делится точкой O пополам ($AO = OC$).
5. Аналогично, на второй прямой от точки O в обе стороны откладываем отрезки длиной $d_2/2$. Получаем вершины B и D. Таким образом, мы построили диагональ $BD = d_2$, и она делится точкой O пополам ($BO = OD$).
6. С помощью линейки последовательно соединяем точки A, B, C и D.

В результате построен четырехугольник ABCD. Его диагонали AC и BD пересекаются в точке O, и по построению, $AO = OC = d_1/2$ и $BO = OD = d_2/2$. Так как диагонали четырехугольника ABCD точкой пересечения делятся пополам, он является параллелограммом. Длины его диагоналей равны $d_1$ и $d_2$, а угол между ними равен $\gamma$. Таким образом, построенный параллелограмм удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Построенный четырехугольник ABCD является искомым параллелограммом.