Практическое задание, страница 50 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

Даны два отрезка 6 см и 4 см. Постройте, используя циркуль и линейку:

а) ромб, диагонали которого равны данным отрезкам;

б) параллелограмм с диагоналями 4 см и 6 см, отличный от ромба.

а) Для построения ромба с диагоналями 6 см и 4 см необходимо использовать свойство ромба, согласно которому его диагонали взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Построение выполняется в следующем порядке:

1. С помощью линейки строим отрезок AC длиной 6 см. Этот отрезок будет первой диагональю ромба.

2. Находим середину отрезка AC. Для этого строим его серединный перпендикуляр. Устанавливаем раствор циркуля на произвольную длину, заведомо большую половины отрезка AC (например, 4 см). Из точек A и C как из центров проводим две пары дуг с одинаковым радиусом так, чтобы они пересеклись с обеих сторон от отрезка AC.

3. Через точки пересечения дуг проводим прямую с помощью линейки. Эта прямая будет перпендикулярна отрезку AC и пройдет через его середину. Обозначим точку пересечения прямой и отрезка AC буквой O.

4. Вторая диагональ имеет длину 4 см и также делится точкой O пополам. Поэтому на построенном перпендикуляре от точки O откладываем в обе стороны отрезки длиной $4 \text{ см} / 2 = 2 \text{ см}$. Обозначаем концы этих отрезков буквами B и D. Таким образом, мы получаем вторую диагональ BD, которая перпендикулярна AC и проходит через ее середину.

5. Последовательно соединяем отрезками вершины A, B, C и D.

В результате построен четырехугольник ABCD. По построению его диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, следовательно, ABCD — ромб.

Ответ: Построен ромб ABCD, диагонали которого AC = 6 см и BD = 4 см.

б) Для построения параллелограмма с диагоналями 4 см и 6 см, который не является ромбом, необходимо использовать свойство параллелограмма: его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Чтобы параллелограмм не был ромбом, его диагонали не должны быть взаимно перпендикулярны. Алгоритм построения:

1. С помощью линейки строим отрезок AC длиной 6 см. Это будет первая диагональ.

2. Находим середину отрезка AC — точку O. Для этого можно либо отмерить 3 см от одного из концов линейкой, либо построить серединный перпендикуляр, как в пункте а), и отметить точку его пересечения с AC.

3. Через точку O проводим произвольную прямую, но так, чтобы она не была перпендикулярна отрезку AC. Угол между этой прямой и отрезком AC должен быть отличным от $90^\circ$.

4. На этой прямой откладываем от точки O в обе стороны отрезки, равные половине длины второй диагонали: $4 \text{ см} / 2 = 2 \text{ см}$. Обозначаем концы этих отрезков буквами B и D. Получаем вторую диагональ BD = 4 см, которая проходит через середину диагонали AC.

5. Последовательно соединяем отрезками вершины A, B, C и D.

Полученный четырехугольник ABCD является параллелограммом, так как его диагонали по построению пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Поскольку угол между диагоналями не является прямым, этот параллелограмм не является ромбом.

Ответ: Построен параллелограмм ABCD (не являющийся ромбом), диагонали которого AC = 6 см и BD = 4 см.