Вопросы, страница 57 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

1. Сформулируйте и докажите теорему Фалеса.

2. Какие отрезки называются пропорциональными?

3. Сформулируйте теорему о пропорциональных отрезках.

1. Сформулируйте и докажите теорему Фалеса.

Формулировка: Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько равных отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую прямую, то они отсекут на второй прямой также равные между собой отрезки.

Дано: Две произвольные прямые $a$ и $b$. Пусть прямая $a$ пересекается параллельными прямыми $l_1, l_2, l_3, \dots, l_n$ в точках $A_1, A_2, A_3, \dots, A_n$ соответственно, так что отрезки $A_1A_2$, $A_2A_3$, $\dots$, $A_{n-1}A_n$ равны между собой. Прямая $b$ пересекается теми же параллельными прямыми $l_1, l_2, l_3, \dots, l_n$ в точках $B_1, B_2, B_3, \dots, B_n$ соответственно.

Найти: Доказать, что отрезки $B_1B_2$, $B_2B_3$, $\dots$, $B_{n-1}B_n$ равны между собой. То есть, $B_1B_2 = B_2B_3 = \dots = B_{n-1}B_n$.

Решение: Докажем теорему для двух соседних отрезков. Пусть $A_1A_2 = A_2A_3$. Требуется доказать, что $B_1B_2 = B_2B_3$. 1. Через точку $B_1$ проведем прямую $B_1M$, параллельную прямой $a$. Точка $M$ лежит на прямой $l_2$. 2. Через точку $B_2$ проведем прямую $B_2N$, параллельную прямой $a$. Точка $N$ лежит на прямой $l_3$. 3. Рассмотрим четырехугольник $A_1A_2MB_1$. Так как $A_1A_2 \parallel B_1M$ (по построению) и $A_1B_1 \parallel A_2M$ (как отрезки параллельных прямых $l_1$ и $l_2$), то $A_1A_2MB_1$ является параллелограммом. Следовательно, $A_1A_2 = B_1M$. 4. Аналогично, рассмотрим четырехугольник $A_2A_3NB_2$. Он является параллелограммом, поскольку $A_2A_3 \parallel B_2N$ (по построению) и $A_2B_2 \parallel A_3N$ (как отрезки параллельных прямых $l_2$ и $l_3$). Следовательно, $A_2A_3 = B_2N$. 5. По условию, $A_1A_2 = A_2A_3$. Из пунктов 3 и 4 следует, что $B_1M = B_2N$. 6. Теперь рассмотрим треугольники $\triangle B_1B_2M$ и $\triangle B_2B_3N$. * Углы $\angle MB_1B_2$ и $\angle NB_2B_3$ равны как соответственные углы при параллельных прямых $B_1M \parallel B_2N$ (обе параллельны прямой $a$) и секущей $b$. * Углы $\angle B_1MB_2$ и $\angle B_2NB_3$ равны как соответственные углы при параллельных прямых $l_2 \parallel l_3$ и секущей $MN$. * Стороны $B_1M$ и $B_2N$ равны (доказано в пункте 5). 7. Таким образом, треугольники $\triangle B_1B_2M$ и $\triangle B_2B_3N$ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (по критерию УСУ). 8. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: $B_1B_2 = B_2B_3$. 9. Повторяя это рассуждение для каждой пары смежных отрезков на прямой $a$, мы можем доказать, что все отрезки, отсекаемые на прямой $b$ параллельными прямыми, равны между собой.

Ответ: Сформулировано и доказано выше.

2. Какие отрезки называются пропорциональными?

Отрезки называются пропорциональными, если отношение их длин равно отношению длин других отрезков. Более формально, отрезки $AB$ и $CD$ называются пропорциональными отрезкам $A'B'$ и $C'D'$, если отношение длины отрезка $AB$ к длине отрезка $A'B'$ равно отношению длины отрезка $CD$ к длине отрезка $C'D'$. Это можно записать как: $ \frac{AB}{A'B'} = \frac{CD}{C'D'} $

Ответ: Отрезки, отношение длин которых равно отношению длин других отрезков.

3. Сформулируйте теорему о пропорциональных отрезках.

Формулировка: Параллельные прямые, пересекающие две произвольные прямые, отсекают на них пропорциональные отрезки. Точнее, если прямые $l_1, l_2, l_3$ параллельны и пересекают прямую $a$ в точках $A_1, A_2, A_3$ и прямую $b$ в точках $B_1, B_2, B_3$ соответственно, то справедливо следующее отношение: $ \frac{A_1A_2}{A_2A_3} = \frac{B_1B_2}{B_2B_3} $ Эта теорема также является обобщением теоремы Фалеса. Частным случаем этой теоремы является свойство биссектрисы угла треугольника, а также теорема о пропорциональных отрезках, отсекаемых прямой, параллельной стороне треугольника: прямая, параллельная одной из сторон треугольника и пересекающая две другие стороны, отсекает на этих сторонах (или их продолжениях) пропорциональные отрезки. То есть, если в треугольнике $ABC$ проведена прямая $DE \parallel BC$ ($D$ на $AB$, $E$ на $AC$), то $ \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} $.

Ответ: Сформулировано выше.