Номер 101, страница 52 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

101. Постройте квадрат, если дан отрезок, равный сумме диагонали с его стороной.

Анализ

Пусть $a$ — сторона искомого квадрата, а $d$ — его диагональ. По условию задачи нам дан отрезок $S$, длина которого равна сумме длины диагонали и стороны квадрата: $S = d + a$.

В любом квадрате диагональ связана со стороной соотношением $d = a\sqrt{2}$. Подставив это в формулу для $S$, получим: $S = a\sqrt{2} + a = a(\sqrt{2} + 1)$.

Для нахождения геометрического способа построения рассмотрим искомый квадрат, который мы обозначим $ABCD$. Проведём его диагональ $AC$. Её длина равна $d$. На продолжении этой диагонали за точку $C$ отложим отрезок $CE$, длина которого равна стороне квадрата $a$. Тогда длина всего отрезка $AE$ будет равна $AC + CE = d + a = S$. Таким образом, мы получили отрезок $AE$, равный данному отрезку $S$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABE$. Угол $\angle BAE$ совпадает с углом $\angle BAC$, который является углом между стороной и диагональю квадрата и равен $45^\circ$.

Рассмотрим треугольник $BCE$. Так как $BC$ — сторона квадрата, а отрезок $CE$ мы отложили равным стороне квадрата, то $BC = CE = a$. Следовательно, треугольник $BCE$ является равнобедренным. Угол $\angle BCA$ также равен $45^\circ$. Поскольку точки $A, C, E$ лежат на одной прямой, угол $\angle BCE$ является смежным с углом $\angle BCA$, и его величина равна $180^\circ - \angle BCA = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

Так как треугольник $BCE$ равнобедренный, его углы при основании $BE$ равны: $\angle CBE = \angle CEB = (180^\circ - 135^\circ) / 2 = 45^\circ / 2 = 22.5^\circ$.

Таким образом, мы можем построить треугольник $ABE$, зная его сторону $AE = S$ и два прилежащих к ней угла: $\angle BAE = 45^\circ$ и $\angle AEB = 22.5^\circ$. Построив этот треугольник, мы найдем вершину $B$ и сторону искомого квадрата $AB$.

Построение

Построение выполняется с помощью циркуля и линейки без делений.

1. На произвольной прямой откладываем отрезок $AE$, равный данному в условии отрезку $S$.
2. В точке $A$ строим луч $AK$ так, чтобы угол $\angle EAK$ был равен $45^\circ$. Для этого в точке $A$ восставляем перпендикуляр к прямой $AE$ и строим биссектрису полученного прямого угла.
3. В точке $E$ строим луч $EL$ (в той же полуплоскости относительно прямой $AE$, что и луч $AK$) так, чтобы угол $\angle AEL$ был равен $22.5^\circ$. Для этого в точке $E$ восставляем перпендикуляр к прямой $AE$, строим его биссектрису (получая угол $45^\circ$), а затем строим биссектрису этого угла в $45^\circ$.
4. Лучи $AK$ и $EL$ пересекаются в некоторой точке. Обозначим эту точку $B$. Отрезок $AB$ является стороной искомого квадрата.
5. Строим квадрат $ABCD$ на стороне $AB$. Для этого проводим через точки $A$ и $B$ прямые, перпендикулярные отрезку $AB$. На этих прямых откладываем отрезки $AD = AB$ и $BC = AB$ в одной и той же полуплоскости относительно прямой $AB$. Соединяем точки $C$ и $D$. Фигура $ABCD$ — искомый квадрат.

Доказательство

По нашему построению мы получили треугольник $ABE$, в котором сторона $AE = S$, $\angle BAE = 45^\circ$ и $\angle AEB = 22.5^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, следовательно, $\angle ABE = 180^\circ - (45^\circ + 22.5^\circ) = 112.5^\circ$.

Пусть сторона построенного квадрата $ABCD$ равна $a'$, то есть $a' = AB$. Его диагональ $d' = a'\sqrt{2}$.

По теореме синусов для треугольника $ABE$ имеем:

$\frac{AB}{\sin(\angle AEB)} = \frac{AE}{\sin(\angle ABE)}$

$a' = \frac{S \cdot \sin(22.5^\circ)}{\sin(112.5^\circ)}$

Поскольку $\sin(112.5^\circ) = \sin(180^\circ - 112.5^\circ) = \sin(67.5^\circ) = \cos(22.5^\circ)$, то:

$a' = S \cdot \frac{\sin(22.5^\circ)}{\cos(22.5^\circ)} = S \cdot \tan(22.5^\circ)$

Значение тангенса половинного угла можно найти по формуле $\tan(\alpha/2) = \frac{1-\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}$. Для $\alpha=45^\circ$ получаем:

$\tan(22.5^\circ) = \frac{1-\cos(45^\circ)}{\sin(45^\circ)} = \frac{1 - \sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2} = \frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}-1$

Тогда $a' = S(\sqrt{2}-1)$.

Теперь найдем сумму стороны и диагонали построенного квадрата:

$a' + d' = a' + a'\sqrt{2} = a'(1+\sqrt{2}) = S(\sqrt{2}-1)(1+\sqrt{2}) = S(\sqrt{2}^2 - 1^2) = S(2-1) = S$.

Сумма стороны и диагонали построенного квадрата равна длине исходного отрезка $S$. Таким образом, построенный квадрат является искомым.

Исследование

Задача на построение треугольника $ABE$ по стороне $AE$ и двум прилежащим углам $\angle A = 45^\circ$ и $\angle E = 22.5^\circ$ имеет решение тогда и только тогда, когда сумма этих углов меньше $180^\circ$. В нашем случае $45^\circ + 22.5^\circ = 67.5^\circ < 180^\circ$, поэтому лучи $AK$ и $EL$ всегда пересекаются, причем в единственной точке. Следовательно, для любого заданного отрезка $S > 0$ задача имеет единственное решение.

Ответ: Алгоритм построения искомого квадрата подробно изложен в пункте «Построение». Метод основан на построении вспомогательного треугольника $ABE$, где сторона $AE$ равна данному отрезку $S$, а прилежащие к ней углы равны $45^\circ$ и $22.5^\circ$. Сторона $AB$ этого треугольника является стороной искомого квадрата.