Номер 98, страница 50 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

98. Докажите, что если трапеция имеет ось симметрии, то она равнобедренная.

Пусть дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC ($AD \parallel BC$), и пусть прямая l является ее осью симметрии.

По определению оси симметрии, отражение относительно прямой l переводит трапецию саму в себя. При осевой симметрии сохраняются расстояния, углы и параллельность прямых. Следовательно, пара параллельных прямых, содержащих основания трапеции, должна переходить в себя.

Рассмотрим два возможных случая расположения оси симметрии l относительно оснований трапеции.

Случай 1: Ось симметрии l параллельна основаниям AD и BC.
В этом случае ось l должна быть равноудалена от прямых AD и BC. При симметрии относительно l основание AD переходит в основание BC и наоборот. Это означает, что каждая вершина одного основания переходит в вершину другого основания. По определению осевой симметрии, прямая l должна быть серединным перпендикуляром к отрезкам, соединяющим соответствующие вершины, например, AC и BD (если A переходит в C, а B в D) или AB и DC (если A переходит в B, а D в C). Если l перпендикулярна боковым сторонам AB и DC, то боковые стороны перпендикулярны основаниям. В этом случае трапеция является прямоугольником. Прямоугольник — это частный случай равнобедренной трапеции, так как его боковые стороны равны, а углы при основании равны $90^\circ$.

Случай 2: Ось симметрии l не параллельна основаниям.
Поскольку при симметрии параллельные прямые переходят в параллельные, а в трапеции только одна пара параллельных сторон, то каждая из прямых, содержащих основания (AD и BC), должна перейти в себя. Прямая переходит в себя при отражении относительно оси l только в двух случаях: если она совпадает с осью l или если она перпендикулярна оси l. Основания трапеции не могут совпадать с осью симметрии (иначе все вершины лежали бы на одной прямой). Следовательно, прямые AD и BC перпендикулярны оси симметрии l.

Итак, ось симметрии l перпендикулярна основаниям трапеции. При симметрии относительно l вершины трапеции должны переходить в вершины. Вершина A, лежащая на прямой AD, должна перейти в вершину, также лежащую на прямой AD. Это может быть только вершина D (если бы A переходила в A, то A лежала бы на оси l; аналогично для D, B, C, что привело бы к вырожденной трапеции, где основания являются точками). Таким образом, симметрия относительно l переводит вершину A в вершину D, и, аналогично, вершину B в вершину C.

Осевая симметрия является движением, то есть сохраняет расстояния. Отрезок AB (боковая сторона) при симметрии переходит в отрезок DC (другая боковая сторона). Так как при движении отрезок переходит в равный ему отрезок, то длина отрезка AB равна длине отрезка DC: AB = DC.

Трапеция, у которой боковые стороны равны, по определению является равнобедренной. Таким образом, мы доказали, что если трапеция имеет ось симметрии, то она является равнобедренной. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если трапеция имеет ось симметрии, она является равнобедренной. Это следует из того, что ось симметрии должна быть либо перпендикулярна основаниям (тогда она отображает одну боковую сторону на другую, равную ей), либо параллельна им (тогда трапеция является прямоугольником, который также является равнобедренной трапецией).