Номер 97, страница 50 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

97.В трапеции ABCD с большим основанием AD диагональ AC де-лит угол A пополам и AC $ \perp $ CD. Найдите стороны этой трапеции, если ее периметр 25 см, а $\angle D = 60^\circ$.

Дано: трапеция $ABCD$, $AD$ — большее основание, $BC \parallel AD$.
$AC$ — биссектриса $\angle A \implies \angle BAC = \angle CAD$.
$AC \perp CD \implies \angle ACD = 90^\circ$.
Периметр $P_{ABCD} = 25$ см.
$\angle D = 60^\circ$.

1. Рассмотрим $\triangle ABC$. Так как $BC \parallel AD$, то $\angle BCA = \angle CAD$ как накрест лежащие углы при секущей $AC$. По условию, $\angle BAC = \angle CAD$. Следовательно, $\angle BAC = \angle BCA$. Это означает, что $\triangle ABC$ — равнобедренный с основанием $AC$, и поэтому $AB = BC$.

2. Рассмотрим прямоугольный $\triangle ACD$ ($\angle ACD = 90^\circ$). Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Зная, что $\angle D = 60^\circ$, находим $\angle CAD$:
$\angle CAD = 90^\circ - \angle D = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

3. Так как $AC$ является биссектрисой угла $A$, то $\angle A = 2 \cdot \angle CAD = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$.Поскольку в трапеции $ABCD$ углы при основании $AD$ равны ($\angle A = \angle D = 60^\circ$), трапеция является равнобедренной. Это означает, что ее боковые стороны равны: $AB = CD$.

4. Из выводов в пунктах 1 и 3 получаем, что три стороны трапеции равны между собой: $AB = BC = CD$. Обозначим длину этих сторон через $x$.

5. Вернемся к прямоугольному $\triangle ACD$. Сторона $CD$ является катетом, лежащим против угла $\angle CAD = 30^\circ$. Следовательно, длина этого катета равна половине длины гипотенузы $AD$.
$CD = \frac{1}{2} AD$
Поскольку $CD = x$, то $AD = 2 \cdot CD = 2x$.

6. Периметр трапеции равен сумме длин всех ее сторон:
$P_{ABCD} = AB + BC + CD + AD$
Подставим выражения для сторон через $x$ и данное значение периметра:
$25 = x + x + x + 2x$
$25 = 5x$
$x = \frac{25}{5} = 5$ см.

7. Теперь найдем длины всех сторон трапеции:
$AB = x = 5$ см.
$BC = x = 5$ см.
$CD = x = 5$ см.
$AD = 2x = 2 \cdot 5 = 10$ см.

Ответ: стороны трапеции равны $5$ см, $5$ см, $5$ см и $10$ см.