Номер 92, страница 49 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

92. $DM$ и $CK$ – биссектрисы углов $D$ и $C$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Найдите угол между этими биссектрисами.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. В любой трапеции сумма углов, прилежащих к одной боковой стороне, равна $180^\circ$. Это следует из того, что основания трапеции параллельны ($AD \parallel BC$), а боковая сторона является секущей. Для боковой стороны $CD$ это свойство записывается так:
$\angle{ADC} + \angle{BCD} = 180^\circ$.
По условию, $DM$ — биссектриса угла $D$ ($\angle{ADC}$), а $CK$ — биссектриса угла $C$ ($\angle{BCD}$). Пусть биссектрисы пересекаются в точке $P$.
По определению, биссектриса делит угол на два равных угла. Значит, мы можем записать:
$\angle{PDC} = \frac{1}{2} \angle{ADC}$
$\angle{PCD} = \frac{1}{2} \angle{BCD}$
Теперь рассмотрим треугольник $PCD$, образованный боковой стороной $CD$ и отрезками биссектрис $PC$ и $PD$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$, поэтому для треугольника $PCD$ справедливо равенство:
$\angle{CPD} + \angle{PDC} + \angle{PCD} = 180^\circ$
Подставим в это уравнение выражения для углов $\angle{PDC}$ и $\angle{PCD}$ через углы трапеции:
$\angle{CPD} + \frac{1}{2} \angle{ADC} + \frac{1}{2} \angle{BCD} = 180^\circ$
Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:
$\angle{CPD} + \frac{1}{2} (\angle{ADC} + \angle{BCD}) = 180^\circ$
Мы уже установили, что сумма углов $\angle{ADC} + \angle{BCD}$ равна $180^\circ$. Подставим это значение в полученное уравнение:
$\angle{CPD} + \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 180^\circ$
$\angle{CPD} + 90^\circ = 180^\circ$
Отсюда находим искомый угол между биссектрисами $\angle{CPD}$:
$\angle{CPD} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$
Таким образом, угол между биссектрисами углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, всегда равен $90^\circ$.
Ответ: $90^\circ$.