Практическое задание, страница 47 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

Постройте равнобедренную трапецию. Измерьте:

а) ее диагонали;

б) углы при большем основании трапеции. Сравните эти величины.

Для решения этой задачи необходимо сначала построить равнобедренную трапецию. Равнобедренная трапеция — это четырехугольник, у которого две стороны параллельны (основания), а две другие стороны (боковые) равны между собой. Обозначим нашу трапецию как ABCD, где AD и BC — основания (причем AD — большее основание), а AB и CD — равные боковые стороны.

Построение можно выполнить следующим образом:

1. Начертите отрезок AD, который будет большим основанием.

2. Из точек A и D проведите два луча вверх под одинаковым острым углом к отрезку AD (например, 70°). Так вы зададите равные углы при основании.

3. На этих лучах отложите равные отрезки AB и DC.

4. Соедините точки B и C. Отрезок BC будет являться меньшим основанием, и так как углы при основании AD равны, прямая BC будет параллельна прямой AD. Фигура ABCD — искомая равнобедренная трапеция.

Теперь выполним измерения и сравним полученные величины, опираясь на свойства построенной фигуры.

а) ее диагонали;

Измерим длины диагоналей AC и BD с помощью линейки. В любой правильно построенной равнобедренной трапеции измерения покажут, что длины диагоналей равны.

Это является одним из основных свойств равнобедренной трапеции. Это можно доказать, рассмотрев треугольники ΔABD и ΔDCA. У этих треугольников:

1. Сторона AD — общая.

2. Стороны AB и DC равны ($AB = DC$), так как трапеция равнобедренная.

3. Углы при основании BAD и CDA равны ($∠BAD = ∠CDA$) по свойству равнобедренной трапеции.

Следовательно, треугольники ΔABD и ΔDCA равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует и равенство соответствующих сторон, которые являются диагоналями: $AC = BD$.

Сравнение: Длины диагоналей равнобедренной трапеции оказались равны.

Ответ: Диагонали равнобедренной трапеции равны между собой.

б) углы при большем основании трапеции.

Измерим с помощью транспортира углы при большем основании AD, то есть углы ∠BAD и ∠CDA. Измерения покажут, что эти углы равны.

Это является фундаментальным свойством (и часто — частью определения) равнобедренной трапеции. Если трапеция строилась, как описано выше, через откладывание равных углов, то их равенство заложено в самом построении. Если же исходить из определения, что у равнобедренной трапеции равны боковые стороны ($AB = CD$), то равенство углов при основании можно доказать.

Для доказательства проведем из вершин B и C высоты BH и CK на основание AD. Мы получим два прямоугольных треугольника: ΔABH и ΔDCK.

1. Их гипотенузы равны: $AB = CD$ (по определению).

2. Катеты BH и CK равны, так как они являются расстоянием между двумя параллельными прямыми BC и AD.

Таким образом, прямоугольные треугольники ΔABH и ΔDCK равны по гипотенузе и катету. Из их равенства следует и равенство соответствующих острых углов: $∠BAH = ∠CDK$, что и требовалось доказать ($∠BAD = ∠CDA$).

Сравнение: Углы при большем основании равнобедренной трапеции оказались равны.

Ответ: Углы при большем основании равнобедренной трапеции равны между собой.