Номер 87, страница 47 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

87. Дан $\triangle ABC$, в котором $\angle C = 90^\circ$, $AC = CB = 16$ см, и квадрат $CKMN$. Причем $K \in AC$, $N \in CB$, $M \in AB$. Найдите периметр квадрата.

По условию задачи дан прямоугольный равнобедренный треугольник $ \triangle ABC $, в котором $ \angle C = 90^\circ $ и катеты $ AC = CB = 16 $ см. В треугольник вписан квадрат $ CKMN $ так, что вершина $ C $ является общей, вершина $ K $ лежит на катете $ AC $, вершина $ N $ — на катете $ CB $, а вершина $ M $ — на гипотенузе $ AB $.

Обозначим сторону квадрата через $ a $. Таким образом, $ CK = NC = KM = MN = a $.

Рассмотрим треугольник $ \triangle AKM $. Вершина $ K $ лежит на стороне $ AC $, значит, длина отрезка $ AK $ равна разности длин $ AC $ и $ CK $.

$ AK = AC - CK = 16 - a $.

Поскольку $ CKMN $ — квадрат, его сторона $ KM $ параллельна стороне $ NC $, которая лежит на прямой $ CB $. Следовательно, $ KM \parallel CB $.

Так как прямая $ KM $ параллельна прямой $ CB $, то треугольник $ \triangle AKM $ подобен треугольнику $ \triangle ACB $ по двум углам: $ \angle A $ у них общий, а $ \angle AKM = \angle ACB = 90^\circ $ (как соответственные углы при параллельных прямых $ KM $ и $ CB $ и секущей $ AC $).

Из подобия треугольников следует, что отношение их соответственных сторон равно:

$ \frac{AK}{AC} = \frac{KM}{CB} $

Подставим в это соотношение известные нам значения:

$ \frac{16 - a}{16} = \frac{a}{16} $

Поскольку знаменатели в дробях одинаковы, мы можем приравнять их числители:

$ 16 - a = a $

Решим полученное уравнение относительно $ a $:

$ 16 = a + a $

$ 16 = 2a $

$ a = \frac{16}{2} = 8 $ см.

Таким образом, сторона квадрата равна 8 см. Теперь найдем его периметр. Периметр квадрата $ P $ вычисляется по формуле $ P = 4a $.

$ P = 4 \cdot 8 = 32 $ см.

Ответ: 32 см.