Вопросы, страница 46 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

1. Перечислите известные вам свойства квадрата.

2. Сформулируйте и докажите признаки квадрата.

1. Перечислите известные вам свойства квадрата.

Квадрат — это правильный четырёхугольник, то есть это одновременно и прямоугольник, и ромб. Следовательно, он обладает всеми свойствами параллелограмма, прямоугольника и ромба. Основные свойства квадрата:

1. Все четыре стороны квадрата равны по длине.

2. Все четыре угла квадрата прямые, то есть равны $90^\circ$.

3. Противоположные стороны квадрата параллельны.

4. Диагонали квадрата равны по длине.

5. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны.

6. Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам.

7. Диагонали квадрата делят его углы пополам, то есть на углы по $45^\circ$.

8. Каждая диагональ делит квадрат на два равных равнобедренных прямоугольных треугольника.

9. Площадь квадрата вычисляется по формуле $S = a^2$, где $a$ - длина стороны, или $S = \frac{1}{2}d^2$, где $d$ - длина диагонали.

10. Периметр квадрата вычисляется по формуле $P = 4a$, где $a$ - длина стороны.

Ответ:

2. Сформулируйте и докажите признаки квадрата.

Признаки квадрата - это условия, при которых четырёхугольник является квадратом.

Признак 1: Если в прямоугольнике две смежные стороны равны, то он является квадратом.

Доказательство:

Пусть дан прямоугольник $ABCD$. По определению прямоугольника, все его углы равны $90^\circ$ ($ \angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^\circ $), а противоположные стороны равны ($ AB = CD $ и $ BC = AD $).

По условию, две смежные стороны равны, например $ AB = BC $.

Из равенства противоположных сторон $ AB = CD $ и $ BC = AD $, а также из условия $ AB = BC $, следует, что $ AB = BC = CD = AD $.

Таким образом, все стороны четырёхугольника $ABCD$ равны и все углы равны $90^\circ$. По определению, $ABCD$ - квадрат.

Признак 2: Если в ромбе один из углов прямой, то он является квадратом.

Доказательство:

Пусть дан ромб $ABCD$. По определению ромба, все его стороны равны ($ AB = BC = CD = AD $).

По условию, один из углов ромба прямой, например $ \angle A = 90^\circ $.

Так как ромб является частным случаем параллелограмма, то сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Значит, $ \angle A + \angle B = 180^\circ $. Так как $ \angle A = 90^\circ $, то $ 90^\circ + \angle B = 180^\circ \Rightarrow \angle B = 90^\circ $.

Также в параллелограмме противоположные углы равны. Следовательно, $ \angle C = \angle A = 90^\circ $ и $ \angle D = \angle B = 90^\circ $.

Таким образом, все стороны четырёхугольника $ABCD$ равны и все углы равны $90^\circ$. По определению, $ABCD$ - квадрат.

Признак 3: Если в параллелограмме диагонали равны и взаимно перпендикулярны, то он является квадратом.

Доказательство:

Пусть дан параллелограмм $ABCD$.

Если диагонали параллелограмма равны ($ AC = BD $), то этот параллелограмм является прямоугольником. (Доказательство этого факта: рассмотрим треугольники $DAB$ и $CBA$. У них сторона $AB$ общая, $AD=BC$ как противоположные стороны параллелограмма, и $BD=AC$ по условию. Следовательно, $\triangle DAB \cong \triangle CBA$ по трем сторонам (SSS). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle DAB = \angle CBA$. Так как $AD \parallel BC$, сумма односторонних углов равна $180^\circ$, то есть $\angle DAB + \angle CBA = 180^\circ$. Подставив $\angle DAB = \angle CBA$, получаем $2 \angle DAB = 180^\circ$, откуда $\angle DAB = 90^\circ$. Параллелограмм с прямым углом является прямоугольником).

Если диагонали параллелограмма взаимно перпендикулярны ($ AC \perp BD $), то этот параллелограмм является ромбом. (Доказательство этого факта: пусть диагонали пересекаются в точке $O$. Рассмотрим $\triangle AOB$. В параллелограмме диагонали делятся точкой пересечения пополам, то есть $AO = OC$ и $BO = OD$. В $\triangle AOB$ и $\triangle COB$: $AO = OC$, сторона $BO$ общая, и $ \angle AOB = \angle COB = 90^\circ $ по условию перпендикулярности. Следовательно, $\triangle AOB \cong \triangle COB$ по двум сторонам и углу между ними (SAS). Из равенства треугольников следует равенство сторон $AB = CB$. Поскольку в параллелограмме две смежные стороны равны, он является ромбом).

Поскольку параллелограмм $ABCD$ является одновременно и прямоугольником (потому что его диагонали равны) и ромбом (потому что его диагонали взаимно перпендикулярны), то по определению он является квадратом.

Ответ: