Номер 80, страница 43 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

80. a) Докажите, что четырехугольник $ABCD$, для которого прямые $AC$ и $BD$ являются осями симметрии, есть ромб.

б) Треугольник $ANK$ – равносторонний. Точки $B$, $C$ и $D$ – середины его сторон $AN$, $NK$ и $AK$ соответственно. Докажите, что четырехугольник $ABCD$ – ромб.

а)

Доказательство:

1. Если прямая $AC$ является осью симметрии четырехугольника $ABCD$, то при осевой симметрии относительно $AC$ четырехугольник отображается на себя. При этом точки $A$ и $C$ остаются неподвижными, а вершина $B$ отображается в вершину $D$, и наоборот. По свойству осевой симметрии, ось симметрии ($AC$) является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему симметричные точки ($B$ и $D$). Это означает, что диагональ $AC$ перпендикулярна диагонали $BD$ ($AC \perp BD$) и делит ее пополам.

2. Аналогично, если прямая $BD$ является осью симметрии, то она является серединным перпендикуляром к отрезку $AC$. Это означает, что диагональ $BD$ перпендикулярна диагонали $AC$ и делит ее пополам.

3. Таким образом, в четырехугольнике $ABCD$ диагонали взаимно перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам. Четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, является ромбом (по признаку ромба). Следовательно, $ABCD$ — ромб.

Ответ: Доказано.

б)

Доказательство:

1. По условию задачи, треугольник $ANK$ является равносторонним. Это значит, что длины всех его сторон равны: $AN = NK = AK$.

2. Рассмотрим длины сторон четырехугольника $ABCD$. Точки $B$, $C$ и $D$ являются серединами сторон $AN$, $NK$ и $AK$ соответственно. Из того, что $B$ — середина $AN$, следует $AB = \frac{1}{2}AN$. Из того, что $D$ — середина $AK$, следует $AD = \frac{1}{2}AK$.

3. Отрезок $BC$ соединяет середины сторон $AN$ и $NK$ в треугольнике $ANK$. По теореме о средней линии треугольника, $BC$ параллельна стороне $AK$ и ее длина равна половине длины $AK$: $BC = \frac{1}{2}AK$.

4. Аналогично, отрезок $CD$ соединяет середины сторон $NK$ и $AK$ в треугольнике $ANK$. Следовательно, $CD$ является средней линией, параллельной $AN$, и ее длина равна $CD = \frac{1}{2}AN$.

5. Сравним длины сторон четырехугольника: $AB = \frac{1}{2}AN$, $BC = \frac{1}{2}AK$, $CD = \frac{1}{2}AN$, $AD = \frac{1}{2}AK$. Поскольку $AN = AK$ (из пункта 1), то и половины этих сторон равны: $\frac{1}{2}AN = \frac{1}{2}AK$. Таким образом, все стороны четырехугольника $ABCD$ равны между собой: $AB = BC = CD = AD$.

6. Четырехугольник, у которого все стороны равны, по определению является ромбом. Следовательно, $ABCD$ — ромб.

Ответ: Доказано.