Номер 79, страница 43 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

79. a) Сторона $DC$ ромба $ABCD$ образует с продолжениями его диагоналей $BD$ и $AC$ за точки $D$ и $C$ углы $FDC$ и $ECD$ соответственно, которые относятся как $4 : 5$. Найдите углы ромба.

б) В ромбе $MNPK$ проведены перпендикуляры $NF$ и $NH$ к сторонам $MK$ и $KP$ соответственно. Найдите углы ромба, если $\angle FNH = 54^\circ$.

а) Пусть диагонали ромба $ABCD$ пересекаются в точке $O$. По свойству ромба, его диагонали взаимно перпендикулярны, следовательно, $\triangle DOC$ является прямоугольным с $\angle DOC = 90^\circ$.
Угол $\angle FDC$ образован стороной $DC$ и продолжением диагонали $BD$ за точку $D$. Этот угол является смежным с углом $\angle BDC$, который является частью угла $\angle D$ ромба. Таким образом, $\angle BDC + \angle FDC = 180^\circ$.
Угол $\angle ECD$ образован стороной $DC$ и продолжением диагонали $AC$ за точку $C$. Этот угол является смежным с углом $\angle ACD$, который является частью угла $\angle C$ ромба. Таким образом, $\angle ACD + \angle ECD = 180^\circ$.
По условию, $\angle FDC : \angle ECD = 4 : 5$. Обозначим $\angle FDC = 4x$ и $\angle ECD = 5x$.
Тогда углы треугольника $\triangle DOC$ (углы $\angle ODC$ и $\angle OCD$ совпадают с углами $\angle BDC$ и $\angle ACD$ соответственно) можно выразить через $x$:
$\angle ODC = 180^\circ - \angle FDC = 180^\circ - 4x$.
$\angle OCD = 180^\circ - \angle ECD = 180^\circ - 5x$.
Сумма углов в треугольнике $\triangle DOC$ равна $180^\circ$:
$\angle DOC + \angle ODC + \angle OCD = 180^\circ$
$90^\circ + (180^\circ - 4x) + (180^\circ - 5x) = 180^\circ$
$450^\circ - 9x = 180^\circ$
$9x = 450^\circ - 180^\circ$
$9x = 270^\circ$
$x = 30^\circ$
Теперь найдем величины углов $\angle ODC$ и $\angle OCD$:
$\angle ODC = 180^\circ - 4 \cdot 30^\circ = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.
$\angle OCD = 180^\circ - 5 \cdot 30^\circ = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.
Диагонали ромба являются биссектрисами его углов, поэтому:
$\angle D = 2 \cdot \angle ODC = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$.
$\angle C = 2 \cdot \angle OCD = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$.
Противоположные углы ромба равны, значит $\angle A = \angle C = 60^\circ$ и $\angle B = \angle D = 120^\circ$.
Ответ: углы ромба равны $60^\circ$, $120^\circ$, $60^\circ$, $120^\circ$.

б) В ромбе $MNPK$ проведены перпендикуляры $NF$ и $NH$ из вершины $N$ к прямым, содержащим стороны $MK$ и $KP$. Рассмотрим четырехугольник $NFKH$.
По построению $NF \perp MK$ и $NH \perp KP$, следовательно, углы $\angle NFK$ и $\angle NHK$ в этом четырехугольнике являются прямыми: $\angle NFK = 90^\circ$ и $\angle NHK = 90^\circ$.
Угол $\angle FKH$ четырехугольника $NFKH$ совпадает с углом $\angle K$ ромба $MNPK$.
Угол $\angle FNH$ четырехугольника $NFKH$ задан по условию: $\angle FNH = 54^\circ$.
Сумма углов любого выпуклого четырехугольника равна $360^\circ$. Для четырехугольника $NFKH$ имеем:
$\angle K + \angle FNH + \angle NFK + \angle NHK = 360^\circ$
Подставим известные значения:
$\angle K + 54^\circ + 90^\circ + 90^\circ = 360^\circ$
$\angle K + 234^\circ = 360^\circ$
$\angle K = 360^\circ - 234^\circ$
$\angle K = 126^\circ$
Таким образом, один из углов ромба равен $126^\circ$. Противоположный ему угол $\angle N$ также равен $126^\circ$.
Соседние углы ромба в сумме дают $180^\circ$, поэтому другие два угла, $\angle M$ и $\angle P$, равны:
$\angle M = \angle P = 180^\circ - \angle K = 180^\circ - 126^\circ = 54^\circ$.
Ответ: углы ромба равны $54^\circ$ и $126^\circ$.