Номер 82, страница 46 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

82. Установите, какие из утверждений верны:

а) диагонали прямоугольника равны;

б) если диагонали четырехугольника равны, то он является прямоугольником;

в) диагонали квадрата равны и перпендикулярны;

г) если диагонали четырехугольника равны и перпендикулярны, то он является квадратом.

а) диагонали прямоугольника равны

Это утверждение верно. Рассмотрим прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB=a$ и $BC=b$. Диагональ $AC$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике $ABC$. По теореме Пифагора, ее квадрат равен $AC^2 = AB^2 + BC^2 = a^2 + b^2$. Аналогично, диагональ $BD$ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике $BAD$, и ее квадрат равен $BD^2 = AD^2 + AB^2 = b^2 + a^2$. Так как правые части равны, то $AC^2 = BD^2$, а значит и $AC = BD$. Это одно из основных свойств прямоугольника.

Ответ: утверждение верно.

б) если диагонали четырехугольника равны, то он является прямоугольником

Это утверждение неверно. В качестве контрпримера можно привести равнобокую трапецию. Равнобокая (или равнобедренная) трапеция — это четырехугольник, у которого одна пара сторон параллельна, а две другие стороны (боковые) равны. У такой трапеции диагонали равны, но ее углы не являются прямыми (за исключением случая, когда трапеция является прямоугольником). Таким образом, наличие равных диагоналей не гарантирует, что четырехугольник является прямоугольником.

Ответ: утверждение неверно.

в) диагонали квадрата равны и перпендикулярны

Это утверждение верно. Квадрат обладает свойствами как прямоугольника, так и ромба.

1. Как частный случай прямоугольника, квадрат имеет равные диагонали (согласно пункту а).

2. Как частный случай ромба (четырехугольника с равными сторонами), квадрат имеет взаимно перпендикулярные диагонали. Это ключевое свойство любого ромба.

Следовательно, оба условия выполняются для любого квадрата.

Ответ: утверждение верно.

г) если диагонали четырехугольника равны и перпендикулярны, то он является квадратом

Это утверждение неверно. Для того чтобы четырехугольник был квадратом, помимо равенства и перпендикулярности диагоналей, необходимо также, чтобы они в точке пересечения делились пополам. Если это условие не выполнено, фигура не будет квадратом.Рассмотрим четырехугольник $ABCD$, диагонали которого $AC$ и $BD$ пересекаются под прямым углом в точке $O$. Пусть $AC = BD = 8$ см. Но точка пересечения $O$ делит диагонали на неравные части: $AO = 2$ см, $OC = 6$ см, а диагональ $BD$ делится пополам: $BO = DO = 4$ см. В этом случае диагонали равны ($2+6=8$) и перпендикулярны. Найдем длины сторон по теореме Пифагора:

$AB = \sqrt{AO^2 + BO^2} = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20}$ см.

$BC = \sqrt{BO^2 + OC^2} = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{52}$ см.

Поскольку $AB \neq BC$, стороны четырехугольника не равны, следовательно, он не является квадратом (и даже не является ромбом). Это пример четырехугольника (дельтоида), у которого диагонали равны и перпендикулярны, но он не квадрат.

Ответ: утверждение неверно.