Практическое задание, страница 44 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

Проведите две пересекающиеся перпендикулярные прямые и от их общей точки отложите на этих прямых четыре равных отрезка. Постройте четырехугольник, соединив последовательно концы этих отрезков. Измерьте:

а) длины его сторон;

б) углы.

Сравните эти величины.

Следуя условию задачи, проведем две перпендикулярные прямые, пусть это будут прямые $m$ и $n$, которые пересекаются в точке $O$. Отложим от точки $O$ на этих прямых четыре равных отрезка $OA$, $OB$, $OC$ и $OD$ так, чтобы точки $A$ и $C$ лежали на одной прямой, а точки $B$ и $D$ — на другой. Пусть длина каждого из этих отрезков равна $x$, то есть $OA = OB = OC = OD = x$.

Соединив последовательно точки $A, B, C, D$, мы получим четырехугольник $ABCD$. Диагонали этого четырехугольника — это отрезки $AC$ и $BD$. По построению, диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны ($m \perp n$), равны ($AC = OA+OC = 2x$, $BD = OB+OD = 2x$) и точкой пересечения $O$ делятся пополам. Четырехугольник, у которого диагонали равны, перпендикулярны и в точке пересечения делятся пополам, является квадратом.

а) длины его сторон

Рассмотрим один из четырех треугольников, образованных диагоналями, например, треугольник $\triangle AOB$. Он является прямоугольным, так как диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны ($\angle AOB = 90^\circ$). Катеты этого треугольника равны $OA = x$ и $OB = x$. Сторона четырехугольника $AB$ является гипотенузой этого треугольника. По теореме Пифагора: $AB^2 = OA^2 + OB^2$ $AB^2 = x^2 + x^2 = 2x^2$ $AB = \sqrt{2x^2} = x\sqrt{2}$

Поскольку все четыре треугольника ($\triangle AOB, \triangle BOC, \triangle COD, \triangle DOA$) равны между собой по двум катетам ($OA=OC=x$, $OB=OD=x$), то и их гипотенузы равны. Следовательно, все стороны четырехугольника $ABCD$ равны: $AB = BC = CD = DA = x\sqrt{2}$ Таким образом, при измерении все стороны четырехугольника окажутся равными друг другу.
Ответ: Все стороны четырехугольника равны между собой.

б) углы

Поскольку построенный четырехугольник $ABCD$ является квадратом, все его внутренние углы прямые, то есть равны $90^\circ$. Это также можно доказать, рассмотрев углы. В прямоугольном треугольнике $\triangle AOB$ катеты равны ($OA=OB=x$), значит, он является равнобедренным. Углы при его основании равны: $\angle OAB = \angle OBA$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому: $\angle OAB = \angle OBA = \frac{180^\circ - 90^\circ}{2} = 45^\circ$

Аналогично, в треугольнике $\triangle OAD$ угол $\angle OAD = 45^\circ$. Угол четырехугольника при вершине $A$ равен сумме углов $\angle OAB$ и $\angle OAD$: $\angle DAB = \angle OAB + \angle OAD = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ$ Все остальные углы четырехугольника ($\angle ABC, \angle BCD, \angle CDA$) также равны $90^\circ$. Таким образом, при измерении все углы четырехугольника окажутся равными друг другу.
Ответ: Все углы четырехугольника равны между собой и составляют $90^\circ$.

Сравнение величин: Длины всех четырех сторон равны между собой. Величины всех четырех углов также равны между собой.