Номер 78, страница 43 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

78. В ромбе $ABCD$ диагональ $BD$ равна его стороне. Найдите:

а) углы ромба;

б) $\angle BAC, \angle CBD$.

По определению, ромб — это параллелограмм, у которого все стороны равны. Пусть сторона ромба $ABCD$ равна $a$. Тогда $AB = BC = CD = DA = a$.

По условию задачи, диагональ $BD$ равна его стороне, то есть $BD = a$.

а) углы ромба

Рассмотрим треугольник $ABD$. У него все стороны равны: $AB = AD = BD = a$. Следовательно, треугольник $ABD$ является равносторонним.

В равностороннем треугольнике все углы равны $60°$. Таким образом, угол ромба $\angle DAB = 60°$.

Противоположный ему угол $\angle BCD$ также равен $60°$, так как в ромбе противоположные углы равны.

Сумма углов, прилежащих к одной стороне ромба, равна $180°$. Поэтому угол $\angle ABC$ можно найти как $180° - \angle DAB$.

$\angle ABC = 180° - 60° = 120°$.

Противоположный ему угол $\angle CDA$ также равен $120°$.

Таким образом, углы ромба равны $60°, 120°, 60°, 120°$.

Ответ: $60°, 120°, 60°, 120°$.

б) $\angle BAC, \angle CBD$

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов. Диагональ $AC$ делит угол $\angle DAB$ пополам.

Так как $\angle DAB = 60°$, то $\angle BAC = \frac{1}{2} \angle DAB = \frac{1}{2} \times 60° = 30°$.

Угол $\angle CBD$ является частью угла $\angle ABC$. Диагональ $BD$ является биссектрисой угла $\angle ABC$.

Так как $\angle ABC = 120°$, то $\angle CBD = \frac{1}{2} \angle ABC = \frac{1}{2} \times 120° = 60°$.

Также можно было заметить, что угол $\angle CBD$ является одним из углов равностороннего треугольника $BCD$, что также дает нам $60°$.

Ответ: $\angle BAC = 30°, \angle CBD = 60°$.