Номер 73, страница 40 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

73. a) Диагонали прямоугольника пересекаются под углом $60^\circ$. Найдите его диагонали, если меньшая сторона прямоугольника равна 17 см.

б) Диагональ прямоугольника делит его угол в отношении 1 : 2. Найдите ее длину, если сумма обеих диагоналей и двух меньших сторон равна 24 см.

а)

Пусть дан прямоугольник, его диагонали пересекаются в точке O. По свойству прямоугольника, его диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Обозначим длину диагонали как $d$. Тогда точка O делит каждую диагональ на два отрезка длиной $d/2$.

Диагонали делят прямоугольник на четыре треугольника. Рассмотрим треугольник, образованный двумя половинами диагоналей и меньшей стороной прямоугольника. Этот треугольник является равнобедренным, так как две его стороны — это половины диагоналей, и они равны ($d/2$).

Угол между диагоналями, который противолежит меньшей стороне прямоугольника, является острым углом. По условию, этот угол равен $60^{\circ}$.

Таким образом, мы имеем равнобедренный треугольник, у которого угол при вершине (между равными сторонами) равен $60^{\circ}$. Углы при основании этого треугольника будут равны: $(180^{\circ} - 60^{\circ}) / 2 = 120^{\circ} / 2 = 60^{\circ}$.

Поскольку все три угла треугольника равны $60^{\circ}$, этот треугольник является равносторонним. Это означает, что все его стороны равны. Следовательно, меньшая сторона прямоугольника равна половине диагонали.

По условию, меньшая сторона равна 17 см. Значит, половина диагонали также равна 17 см.

$d/2 = 17$ см.

Тогда вся диагональ равна: $d = 17 \cdot 2 = 34$ см.

Ответ: длина каждой диагонали равна 34 см.

б)

Пусть дан прямоугольник ABCD. Все его углы прямые, то есть равны $90^{\circ}$. Диагональ, например AC, делит угол $\angle BCD$ на два угла, $\angle BCA$ и $\angle ACD$. По условию, их отношение равно $1:2$.

Пусть $\angle BCA = x$, тогда $\angle ACD = 2x$. Сумма этих углов равна углу прямоугольника:

$x + 2x = 90^{\circ}$

$3x = 90^{\circ}$

$x = 30^{\circ}$

Значит, $\angle BCA = 30^{\circ}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABC$ (угол $\angle B = 90^{\circ}$). В этом треугольнике катет AB лежит напротив угла $\angle BCA = 30^{\circ}$. По свойству прямоугольного треугольника, катет, лежащий напротив угла в $30^{\circ}$, равен половине гипотенузы. В данном случае гипотенузой является диагональ AC.

Обозначим длину меньшей стороны (AB) как $a$, а длину диагонали (AC) как $d$. Тогда: $a = \frac{1}{2}d$ или $d = 2a$.

Сторона AB является меньшей, так как она лежит напротив меньшего острого угла треугольника $\triangle ABC$ ($\angle BCA = 30^{\circ}$, а $\angle BAC = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$).

По условию задачи, сумма обеих диагоналей и двух меньших сторон равна 24 см. Диагонали прямоугольника равны ($d_1 = d_2 = d$), и две меньшие стороны равны ($a_1 = a_2 = a$). Составим уравнение:

$2d + 2a = 24$

Разделим обе части на 2:

$d + a = 12$

Мы получили систему из двух уравнений:

1. $d = 2a$

2. $d + a = 12$

Подставим выражение для $d$ из первого уравнения во второе:

$2a + a = 12$

$3a = 12$

$a = 4$ см.

Теперь найдем длину диагонали, используя первое уравнение:

$d = 2a = 2 \cdot 4 = 8$ см.

Ответ: длина диагонали равна 8 см.