Номер 68, страница 37 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

68. Дана окружность с центром $O$. Через некоторую точку $A$ к окружности проведены две касательные, угол между которыми равен $120^\circ$. Через точку $B$, симметричную точку $A$ относительно центра $O$, проведены еще две касательные к данной окружности. Докажите, что четырехугольник, образованный касательными, является параллелограммом и найдите его периметр, если $AO = 3$ см.

Доказательство
Пусть $l_1$ и $l_2$ — касательные, проведенные из точки $A$ к окружности, а $l_3$ и $l_4$ — касательные, проведенные из точки $B$. Четырехугольник образован пересечением этих четырех прямых.Поскольку точка $B$ симметрична точке $A$ относительно центра окружности $O$, вся geometric-ческая фигура, состоящая из окружности и четырех касательных, обладает центральной симметрией относительно точки $O$.При центральной симметрии относительно центра $O$:1. Точка $A$ переходит в точку $B$.2. Касательная к окружности переходит в касательную к той же окружности.3. Прямая переходит в параллельную ей прямую.Следовательно, касательная $l_1$, проходящая через точку $A$, при симметрии перейдет в параллельную ей касательную, проходящую через точку $B$. Пусть это будет касательная $l_3$. Таким образом, $l_1 \parallel l_3$.Аналогично, касательная $l_2$, проходящая через $A$, перейдет в параллельную ей касательную $l_4$, проходящую через $B$. Таким образом, $l_2 \parallel l_4$.Четырехугольник, образованный этими касательными, имеет две пары параллельных противоположных сторон. По определению, такой четырехугольник является параллелограммом.
Ответ: Что и требовалось доказать.

Нахождение периметра
Пусть вершины образованного параллелограмма — это точки пересечения касательных. Две противоположные вершины этого параллелограмма — это точки $A$ и $B$. Пусть две другие вершины — $C$ и $D$. Тогда наш параллелограмм — $ACBD$.Угол при вершине $A$ по условию равен $120^\circ$. В силу центральной симметрии фигуры относительно точки $O$, угол при противоположной вершине $B$ также равен $120^\circ$. Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$, поэтому два других угла, при вершинах $C$ и $D$, равны $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.Рассмотрим треугольник $\triangle ACD$. Его стороны $AC$ и $AD$ являются сторонами параллелограмма, поэтому $AD = BC$. А отрезки касательных, проведенных из одной точки $A$ к окружности, равны (имеются в виду отрезки от точки $A$ до точек касания). Из-за симметрии всей фигуры относительно прямой, перпендикулярной $AB$, следует, что смежные стороны параллелограмма равны: $AC = AD$. Параллелограмм с равными смежными сторонами является ромбом.Рассмотрим треугольник $\triangle ABD$. Он равнобедренный, так как его стороны $AD$ и $BD$ являются сторонами ромба ($AD=BD$). Угол при вершине $D$ равен $60^\circ$. Равнобедренный треугольник с углом $60^\circ$ является равносторонним.Следовательно, сторона ромба равна его диагонали $AB$. То есть, $AD = AB$.Точка $B$ симметрична точке $A$ относительно $O$, значит $O$ является серединой отрезка $AB$.По условию дано, что $AO = 3$ см. Тогда длина диагонали $AB$ равна:$AB = 2 \cdot AO = 2 \cdot 3 = 6$ см.Так как сторона ромба равна диагонали $AB$, то длина стороны ромба равна 6 см.Периметр ромба $P$ вычисляется как учетверенная длина его стороны:$P = 4 \cdot AB = 4 \cdot 6 = 24$ см.
Ответ: 24 см.