Номер 66, страница 36 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

66. a)

Диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Точки $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ являются серединами отрезков $AO$, $BO$, $CO$ и $DO$ соответственно. Докажите, что четырехугольник $A_1B_1C_1D_1$ также является параллелограммом.

б)

Дан параллелограмм $MNPK$. На лучах $MN$, $NP$, $PK$ и $KM$ отложены соответственно равные отрезки $NA$, $PB$, $KC$ и $MD$. Докажите, что $ABCD$ – параллелограмм.

в)

Даны две окружности с общим центром и проведены их пересекающиеся диаметры. Докажите, что концы этих диаметров являются вершинами параллелограмма.

а)

По условию, $ABCD$ – параллелограмм, диагонали которого $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. По свойству диагоналей параллелограмма, точка пересечения делит их пополам, следовательно, $AO = CO$ и $BO = DO$.

Точки $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ являются серединами отрезков $AO$, $BO$, $CO$ и $DO$ соответственно. Это означает:

$A_1O = \frac{1}{2}AO$

$C_1O = \frac{1}{2}CO$

$B_1O = \frac{1}{2}BO$

$D_1O = \frac{1}{2}DO$

Рассмотрим диагонали четырехугольника $A_1B_1C_1D_1$ – это отрезки $A_1C_1$ и $B_1D_1$. Точки $A_1$ и $C_1$ лежат на диагонали $AC$, а точки $B_1$ и $D_1$ лежат на диагонали $BD$. Все четыре точки $A_1, B_1, C_1, D_1$ имеют общую точку $O$ на своих диагоналях.

Так как $AO = CO$, то и $A_1O = \frac{1}{2}AO = \frac{1}{2}CO = C_1O$. Это означает, что точка $O$ является серединой диагонали $A_1C_1$.

Аналогично, так как $BO = DO$, то и $B_1O = \frac{1}{2}BO = \frac{1}{2}DO = D_1O$. Это означает, что точка $O$ является серединой диагонали $B_1D_1$.

Таким образом, диагонали четырехугольника $A_1B_1C_1D_1$ пересекаются в точке $O$ и делятся этой точкой пополам. По признаку параллелограмма (если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм), $A_1B_1C_1D_1$ является параллелограммом.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б)

По условию, $MNPK$ — параллелограмм. Это значит, что его противоположные стороны равны ($MN = PK$, $NP = KM$) и противоположные углы равны ($\angle KMN = \angle NPK$, $\angle MNP = \angle PKM$).

На лучах $MN$, $NP$, $PK$, $KM$ отложены равные отрезки $NA = PB = KC = MD = l$. Это означает, что точки $A, B, C, D$ лежат на продолжениях сторон параллелограмма за вершины $N, P, K, M$ соответственно.

Рассмотрим треугольники $\triangle DAM$ и $\triangle BCP$.

1. Сторона $DM$ в $\triangle DAM$ равна $l$. Сторона $PB$ в $\triangle BCP$ равна $l$. Следовательно, $DM = PB$.

2. Сторона $MA$ в $\triangle DAM$ равна $MN + NA = MN + l$. Сторона $PC$ в $\triangle BCP$ равна $PK + KC = PK + l$. Так как $MN = PK$, то $MA = PC$.

3. Угол $\angle DMA$ образован лучами $MD$ (луч $MK$) и $MA$ (луч $MN$). Таким образом, $\angle DMA = \angle KMN$. Угол $\angle BPC$ образован лучами $PB$ (луч $PN$) и $PC$ (луч $PK$). Таким образом, $\angle BPC = \angle NPK$. Так как $\angle KMN = \angle NPK$ (противоположные углы параллелограмма), то $\angle DMA = \angle BPC$.

По двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников), $\triangle DAM \cong \triangle BCP$. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: $AD = BC$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle ABN$ и $\triangle CDK$.

1. Сторона $NA$ в $\triangle ABN$ равна $l$. Сторона $KC$ в $\triangle CDK$ равна $l$. Следовательно, $NA = KC$.

2. Сторона $NB$ в $\triangle ABN$ равна $NP + PB = NP + l$. Сторона $KD$ в $\triangle CDK$ равна $KM + MD = KM + l$. Так как $NP = KM$, то $NB = KD$.

3. Угол $\angle ANB$ образован лучами $NA$ (луч $NM$) и $NB$ (луч $NP$). Таким образом, $\angle ANB = \angle MNP$. Угол $\angle CKD$ образован лучами $KC$ (луч $KP$) и $KD$ (луч $KM$). Таким образом, $\angle CKD = \angle PKM$. Так как $\angle MNP = \angle PKM$ (противоположные углы параллелограмма), то $\angle ANB = \angle CKD$.

По первому признаку равенства треугольников, $\triangle ABN \cong \triangle CDK$. Из этого следует, что $AB = CD$.

В четырехугольнике $ABCD$ противоположные стороны попарно равны: $AD = BC$ и $AB = CD$. По признаку параллелограмма, четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом.

Ответ: Что и требовалось доказать.

в)

Пусть даны две окружности с общим центром в точке $O$. Проведем два диаметра, которые пересекаются в этой точке $O$. Обозначим концы одного диаметра как $A$ и $C$, а концы другого — как $B$ и $D$. Точки $A$ и $C$ лежат на одной из окружностей, а точки $B$ и $D$ — на другой (или обе пары на одной и той же, результат не изменится).

Рассмотрим четырехугольник $ABCD$, вершинами которого являются концы этих диаметров.

Диагоналями этого четырехугольника являются отрезки $AC$ и $BD$.

По определению, диаметр окружности проходит через ее центр и делится им пополам. Так как $AC$ — диаметр с центром в $O$, то $AO = CO$ (оба отрезка равны радиусу первой окружности).

Аналогично, так как $BD$ — диаметр с центром в $O$, то $BO = DO$ (оба отрезка равны радиусу второй окружности).

Диагонали $AC$ и $BD$ четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$, и эта точка является серединой каждой из них.

Согласно признаку параллелограмма, если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Следовательно, четырехугольник $ABCD$ — параллелограмм.

Ответ: Что и требовалось доказать.