Номер 61, страница 32 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

61. Биссектрисы углов $A$ и $B$ параллелограмма $ABCD$ делят сторону $CD$ на три отрезка. Найдите длину каждого отрезка, если стороны параллелограмма равны 5 см и 12 см.

Пусть $ABCD$ — данный параллелограмм. По условию, его стороны равны 5 см и 12 см. В параллелограмме противолежащие стороны равны, поэтому $AD = BC$ и $AB = CD$. Необходимо рассмотреть случай, когда боковые стороны короче оснований, так как в противном случае биссектрисы не пересекут противолежащую сторону (об этом в конце решения). Итак, пусть боковые стороны $AD = BC = 5$ см, а основания $AB = CD = 12$ см.

Пусть биссектриса угла $A$ пересекает сторону $CD$ в точке $M$. Так как в параллелограмме стороны $AB$ и $CD$ параллельны ($AB \parallel CD$), то при секущей $AM$ накрест лежащие углы равны: $\angle DMA = \angle MAB$. По определению биссектрисы, $\angle DAM = \angle MAB$. Из этих двух равенств следует, что $\angle DAM = \angle DMA$. Это означает, что треугольник $ADM$ является равнобедренным с основанием $AM$, и его боковые стороны равны: $AD = DM$. Поскольку $AD=5$ см, то и $DM = 5$ см.

Пусть биссектриса угла $B$ пересекает сторону $CD$ в точке $N$. Аналогично, при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $BN$ накрест лежащие углы равны: $\angle CNB = \angle NBA$. По определению биссектрисы, $\angle CBN = \angle NBA$. Отсюда следует, что $\angle CBN = \angle CNB$. Значит, треугольник $BCN$ является равнобедренным с основанием $BN$, и его боковые стороны равны: $BC = CN$. Поскольку $BC=5$ см, то и $CN = 5$ см.

Биссектрисы делят сторону $CD$ на три отрезка. Мы нашли длины двух крайних отрезков: $DM = 5$ см и $CN = 5$ см. Длина всей стороны $CD$ равна 12 см. Длина среднего отрезка $MN$ равна разности длины всей стороны $CD$ и длин отрезков $DM$ и $CN$:
$MN = CD - DM - CN = 12 - 5 - 5 = 2$ см.

Таким образом, длины отрезков, на которые биссектрисы делят сторону $CD$, равны 5 см, 2 см и 5 см.

Заметим, что если бы мы предположили, что $AD = BC = 12$ см и $AB = CD = 5$ см, то получили бы $DM = AD = 12$ см. Однако точка $M$ должна лежать на стороне $CD$, длина которой всего 5 см. Отрезок $DM$ (12 см) не может быть частью отрезка $CD$ (5 см). Следовательно, этот случай невозможен, и наше первоначальное предположение о длинах сторон было верным.

Ответ: длины отрезков равны 5 см, 2 см и 5 см.