Номер 57, страница 32 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

57. Найдите углы параллелограмма, если:

а) один из углов параллелограмма в 3 раза больше другого его угла;

б) один из его углов составляет 25 % другого угла параллелограмма.

а) В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$. Противоположные углы в параллелограмме равны.

Пусть меньший угол равен $x$. Согласно условию, другой угол в 3 раза больше, то есть равен $3x$. Два данных угла не могут быть противоположными, так как в этом случае они были бы равны, что противоречит условию (кроме случая, когда оба угла равны $0^\circ$, что невозможно в параллелограмме). Следовательно, эти углы являются соседними, и их сумма равна $180^\circ$.

Составим и решим уравнение:

$x + 3x = 180^\circ$

$4x = 180^\circ$

$x = \frac{180^\circ}{4}$

$x = 45^\circ$

Таким образом, один угол параллелограмма равен $45^\circ$, а смежный с ним угол равен $3 \cdot 45^\circ = 135^\circ$.

Поскольку противоположные углы параллелограмма равны, два других угла также равны $45^\circ$ и $135^\circ$.

Ответ: $45^\circ, 135^\circ, 45^\circ, 135^\circ$.

б) Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$.

По условию, один из углов составляет 25% другого. Это то же самое, что один угол составляет $\frac{1}{4}$ другого ($25\% = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$), или что больший угол в 4 раза больше меньшего. Эти углы должны быть соседними.

Пусть меньший угол равен $x$. Тогда смежный с ним больший угол равен $4x$.

Составим уравнение, исходя из свойства соседних углов:

$x + 4x = 180^\circ$

$5x = 180^\circ$

$x = \frac{180^\circ}{5}$

$x = 36^\circ$

Итак, меньший угол равен $36^\circ$.

Больший угол равен $4 \cdot 36^\circ = 144^\circ$.

В параллелограмме противоположные углы равны, поэтому его углы: $36^\circ, 144^\circ, 36^\circ, 144^\circ$.

Ответ: $36^\circ, 144^\circ, 36^\circ, 144^\circ$.