Номер 51, страница 31 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

51. а) Биcсектрисы углов $B$ и $C$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются на стороне $AD$. Докажите, что $AD = 2AB$.

б) Биcсектриса угла $M$ параллелограмма $LMNP$ пересекает сторону $LP$ в ее середине $K$. Найдите периметр параллелограмма, если $NP = 25$ мм и $\angle N = 60^{\circ}$.

а) Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Биссектрисы углов $B$ и $C$ пересекаются в точке $E$, лежащей на стороне $AD$.
Рассмотрим биссектрису угла $B$, назовем ее $BE$. По определению биссектрисы, $\angle ABE = \angle CBE$.
Так как $ABCD$ – параллелограмм, его противоположные стороны параллельны, то есть $BC \parallel AD$.
При пересечении параллельных прямых $BC$ и $AD$ секущей $BE$ образуются накрест лежащие углы, которые равны: $\angle CBE = \angle AEB$.
Из двух полученных равенств следует, что $\angle ABE = \angle AEB$.
Это означает, что треугольник $ABE$ является равнобедренным с основанием $BE$. Следовательно, стороны, противолежащие равным углам, равны: $AB = AE$.

Теперь рассмотрим биссектрису угла $C$, назовем ее $CE$. По определению, $\angle BCE = \angle DCE$.
Так как $BC \parallel AD$, то при пересечении этих прямых секущей $CE$ накрест лежащие углы равны: $\angle BCE = \angle DEC$.
Следовательно, $\angle DCE = \angle DEC$.
Это означает, что треугольник $DCE$ является равнобедренным с основанием $CE$. Следовательно, $CD = DE$.
В параллелограмме противолежащие стороны равны, поэтому $CD = AB$.
Таким образом, мы получаем, что $DE = AB$.

Точка $E$ лежит на стороне $AD$, поэтому длина стороны $AD$ равна сумме длин отрезков $AE$ и $DE$: $AD = AE + DE$.
Подставив в это равенство найденные соотношения ($AE=AB$ и $DE=AB$), получаем:
$AD = AB + AB = 2AB$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $AD = 2AB$.

б) Пусть дан параллелограмм $LMNP$. Биссектриса угла $M$, которую назовем $MK$, пересекает сторону $LP$ в ее середине, точке $K$.
Из условия известно, что $K$ – середина $LP$, значит $LK = KP$ и, следовательно, $LP = 2 \cdot LK$.
Также дано, что $NP = 25$ мм и $\angle N = 60^\circ$.
В параллелограмме противолежащие стороны равны, поэтому $LM = NP = 25$ мм.

Поскольку $MK$ является биссектрисой угла $M$, то $\angle LMK = \angle NMK$.
В параллелограмме $LMNP$ стороны $MN$ и $LP$ параллельны ($MN \parallel LP$).
При пересечении этих параллельных прямых секущей $MK$ накрест лежащие углы равны: $\angle NMK = \angle LKM$.
Из равенств $\angle LMK = \angle NMK$ и $\angle NMK = \angle LKM$ следует, что $\angle LMK = \angle LKM$.
Это означает, что треугольник $LMK$ является равнобедренным с основанием $MK$, и его боковые стороны равны: $LM = LK$.

Так как $LM = 25$ мм, то и $LK = 25$ мм.
Теперь мы можем найти длину стороны $LP$:
$LP = 2 \cdot LK = 2 \cdot 25 = 50$ мм.

Периметр параллелограмма вычисляется по формуле $P = 2 \cdot (a+b)$, где $a$ и $b$ – длины смежных сторон. В нашем случае это стороны $LM$ и $LP$.
$P_{LMNP} = 2 \cdot (LM + LP) = 2 \cdot (25 \text{ мм} + 50 \text{ мм}) = 2 \cdot 75 \text{ мм} = 150$ мм.
(Информация об угле $\angle N = 60^\circ$ является избыточной для решения данной задачи).

Ответ: 150 мм.