Номер 52, страница 31 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

52. Найдите углы параллелограмма, если:

а) сумма двух его противоположных углов равна $94^\circ$;

б) разность двух из них равна $70^\circ$.

а) В параллелограмме противоположные углы равны. Пусть два равных противоположных угла — это $\alpha$. По условию, их сумма составляет $94^\circ$, то есть $\alpha + \alpha = 94^\circ$. Отсюда $2\alpha = 94^\circ$, и $\alpha = 47^\circ$. Итак, два угла параллелограмма равны по $47^\circ$. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна $180^\circ$. Пусть второй угол — это $\beta$. Тогда $\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 47^\circ = 133^\circ$. Противоположные углы равны, поэтому два других угла также равны по $133^\circ$. Таким образом, в параллелограмме две пары углов: $47^\circ$ и $133^\circ$. Ответ: $47^\circ, 133^\circ, 47^\circ, 133^\circ$.

б) В параллелограмме противоположные углы равны, поэтому их разность равна нулю. Следовательно, в условии говорится о двух углах, прилежащих к одной стороне (смежных). Пусть эти углы равны $\alpha$ и $\beta$. Сумма таких углов всегда равна $180^\circ$, то есть $\alpha + \beta = 180^\circ$. По условию, их разность равна $70^\circ$. Пусть $\beta$ — больший угол, тогда $\beta - \alpha = 70^\circ$. Мы получили систему из двух уравнений: $ \begin{cases} \alpha + \beta = 180^\circ \\ \beta - \alpha = 70^\circ \end{cases} $. Сложив эти два уравнения, получим: $(\alpha + \beta) + (\beta - \alpha) = 180^\circ + 70^\circ$, что упрощается до $2\beta = 250^\circ$. Отсюда $\beta = 125^\circ$. Теперь найдем $\alpha$, подставив значение $\beta$ в первое уравнение: $\alpha + 125^\circ = 180^\circ$, откуда $\alpha = 180^\circ - 125^\circ = 55^\circ$. Углы параллелограмма — это две пары равных противоположных углов. Ответ: $55^\circ, 125^\circ, 55^\circ, 125^\circ$.