Номер 58, страница 32 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

58. а) Биссектриса одного из углов параллелограмма делит его сторону на отрезки 3 см и 4 см. Найдите периметр параллелограмма.

б) На отрезки какой длины делит сторону биссектриса одного из углов параллелограмма, если его периметр 28 см, а одна из сторон 5 см?

в) Стороны параллелограмма равны $a$ и $b$ ($a > b$). Найдите отрезки, на которые биссектриса угла параллелограмма делит его большую сторону.

а) Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Пусть биссектриса угла $A$, назовем ее $AK$, пересекает сторону $BC$ в точке $K$.

Поскольку в параллелограмме противоположные стороны параллельны ($BC || AD$), то накрест лежащие углы при секущей $AK$ равны: $ \angle BKA = \angle KAD $. По определению биссектрисы, $AK$ делит угол $A$ пополам, поэтому $ \angle BAK = \angle KAD $. Из этих двух равенств следует, что $ \angle BKA = \angle BAK $.

Это означает, что треугольник $ABK$, который биссектриса отсекает от параллелограмма, является равнобедренным с основанием $AK$. Следовательно, его боковые стороны равны: $AB = BK$. То есть, длина боковой стороны параллелограмма равна длине отрезка, который биссектриса отсекает от другой стороны, прилегающего к той же боковой стороне.

По условию, сторона делится на отрезки 3 см и 4 см. Рассмотрим два возможных случая:

1. Отрезок, прилегающий к вершине $B$, равен 3 см ($BK = 3$ см), а другой отрезок $KC = 4$ см.В этом случае боковая сторона параллелограмма $AB = BK = 3$ см.Длина всей стороны, которую делит биссектриса, равна $BC = BK + KC = 3 + 4 = 7$ см.Стороны параллелограмма равны 3 см и 7 см.Периметр $P = 2 \cdot (3 + 7) = 2 \cdot 10 = 20$ см.

2. Отрезок, прилегающий к вершине $B$, равен 4 см ($BK = 4$ см), а другой отрезок $KC = 3$ см.В этом случае боковая сторона $AB = BK = 4$ см.Длина всей стороны $BC = BK + KC = 4 + 3 = 7$ см.Стороны параллелограмма равны 4 см и 7 см.Периметр $P = 2 \cdot (4 + 7) = 2 \cdot 11 = 22$ см.

Ответ: 20 см или 22 см.

б) Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$. Его периметр вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$.

По условию задачи, $P = 28$ см, а одна из сторон равна 5 см. Пусть это будет сторона $a$, то есть $a = 5$ см.Найдем вторую сторону $b$:$2(5 + b) = 28$$5 + b = 14$$b = 9$ см.Итак, стороны параллелограмма равны 5 см и 9 см.

Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник. Сторона этого треугольника равна соседней стороне параллелограмма. Чтобы биссектриса разделила противолежащую сторону на два отрезка, ее длина должна быть больше, чем отсекаемый ею отрезок. Отсекаемый отрезок равен соседней стороне. Следовательно, биссектриса должна делить большую сторону, а отсекаемый ею отрезок будет равен меньшей стороне.

В нашем случае большая сторона равна 9 см, а меньшая — 5 см. Биссектриса делит сторону длиной 9 см. Один из полученных отрезков будет равен по длине меньшей стороне, то есть 5 см.Длина второго отрезка будет равна разности длин большей и меньшей сторон: $9 - 5 = 4$ см.

Ответ: 5 см и 4 см.

в) Пусть стороны параллелограмма равны $a$ и $b$, где $a$ — большая сторона, а $b$ — меньшая ($a > b$).

Как было показано в предыдущих пунктах, биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник. Одна из сторон этого треугольника является стороной параллелограмма, а другая — отрезком на противолежащей стороне.

Чтобы биссектриса пересекала противолежащую сторону (а не ее продолжение), она должна выходить из угла, прилежащего к меньшей стороне $b$. В этом случае она будет делить большую сторону $a$.

Пусть биссектриса угла, образованного сторонами $a$ и $b$, делит сторону $a$. Один из отрезков, на которые делится сторона $a$, будет равен по длине прилежащей к углу стороне, то есть стороне $b$.

Второй отрезок будет равен разности длин стороны $a$ и первого отрезка. Его длина составит $a - b$.

Следовательно, биссектриса делит большую сторону $a$ на два отрезка, длины которых равны $b$ и $a-b$.

Ответ: $b$ и $a-b$.