Номер 53, страница 31 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

53. В параллелограмме $ABCD$ $BC : AB = 1 : 2$. Середина $M$ стороны $AB$ соединена отрезками с вершинами $C$ и $D$. Докажите, что $\angle CMD$ равен $90^\circ$.

Пусть $ABCD$ — данный параллелограмм. Согласно условию, $BC : AB = 1 : 2$. Обозначим длину стороны $BC$ как $a$, тогда длина стороны $AB$ будет равна $2a$.

В параллелограмме противолежащие стороны равны, следовательно, $AD = BC = a$ и $CD = AB = 2a$.

Точка $M$ — середина стороны $AB$. Это означает, что $AM = MB = \frac{AB}{2} = \frac{2a}{2} = a$.

Для доказательства того, что $\angle CMD = 90^\circ$, мы воспользуемся теоремой, обратной теореме Пифагора, для треугольника $CMD$. Нам нужно доказать, что $CD^2 = DM^2 + CM^2$. Для этого найдем квадраты длин сторон $DM$ и $CM$, используя теорему косинусов.

Обозначим угол параллелограмма $\angle DAB$ как $\alpha$. Тогда смежный с ним угол $\angle ABC = 180^\circ - \alpha$.

Рассмотрим треугольник $ADM$. По теореме косинусов: $DM^2 = AD^2 + AM^2 - 2 \cdot AD \cdot AM \cdot \cos(\angle DAB)$ $DM^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(\alpha)$ $DM^2 = 2a^2 - 2a^2 \cos(\alpha) = 2a^2(1 - \cos\alpha)$.

Рассмотрим треугольник $BCM$. По теореме косинусов: $CM^2 = BC^2 + MB^2 - 2 \cdot BC \cdot MB \cdot \cos(\angle ABC)$ $CM^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(180^\circ - \alpha)$. Так как $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$, получаем: $CM^2 = 2a^2 - 2a^2(-\cos\alpha) = 2a^2 + 2a^2 \cos(\alpha) = 2a^2(1 + \cos\alpha)$.

Теперь найдем сумму квадратов сторон $DM$ и $CM$: $DM^2 + CM^2 = 2a^2(1 - \cos\alpha) + 2a^2(1 + \cos\alpha)$ $DM^2 + CM^2 = (2a^2 - 2a^2\cos\alpha) + (2a^2 + 2a^2\cos\alpha)$ $DM^2 + CM^2 = 4a^2$.

Длина стороны $CD$ равна $2a$, следовательно, ее квадрат $CD^2 = (2a)^2 = 4a^2$.

Мы получили, что $DM^2 + CM^2 = CD^2$. Согласно теореме, обратной теореме Пифагора, если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то этот треугольник является прямоугольным. Угол, лежащий против третьей стороны (в нашем случае $CD$), является прямым.

Следовательно, $\angle CMD = 90^\circ$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $\angle CMD$ равен $90^\circ$.