Номер 50, страница 30 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

50. По данным на рисунке 35, а, б найдите:

а) углы параллелограмма RFQР ($ \alpha $, $ \beta $);

б) углы параллелограмма ABCD ($ \alpha $) и докажите, что он является ромбом.

Рисунок 35

а)

Рассмотрим параллелограмм $RFQP$. По свойству параллелограмма его противоположные стороны параллельны: $FQ \parallel RP$ и $FR \parallel QP$.

Диагональ $RQ$ является секущей для пары параллельных прямых $FR$ и $QP$. Внутренние накрест лежащие углы при секущей равны: $\angle PQR = \angle FRQ$. Согласно рисунку, $\angle FRQ = \alpha$, следовательно, $\angle PQR = \alpha$.

Аналогично, $RQ$ является секущей для параллельных прямых $FQ$ и $RP$. Внутренние накрест лежащие углы равны: $\angle FQR = \angle PRQ$. Согласно рисунку, $\angle PRQ = \beta$, следовательно, $\angle FQR = \beta$.

Теперь мы можем найти углы параллелограмма:

Угол при вершине $R$ равен сумме углов $\alpha$ и $\beta$: $\angle R = \angle FRQ + \angle PRQ = \alpha + \beta$.

Угол при вершине $Q$ также равен сумме углов $\alpha$ и $\beta$: $\angle Q = \angle PQR + \angle FQR = \alpha + \beta$.

Противоположные углы параллелограмма равны, поэтому $\angle R = \angle Q = \alpha + \beta$.

Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна $180^\circ$. Найдем углы при вершинах $F$ и $P$:

$\angle F = 180^\circ - \angle R = 180^\circ - (\alpha + \beta)$.

$\angle P = 180^\circ - \angle Q = 180^\circ - (\alpha + \beta)$.

Таким образом, углы параллелограмма $RFQP$ выражаются через $\alpha$ и $\beta$.

Ответ: $\angle R = \angle Q = \alpha + \beta$; $\angle F = \angle P = 180^\circ - (\alpha + \beta)$.

б)

Сначала докажем, что параллелограмм $ABCD$ является ромбом.По определению, в параллелограмме $ABCD$ противоположные стороны равны, то есть $AB = CD$ и $BC = AD$.На рисунке показано, что смежные стороны $AB$ и $BC$ равны ($AB = BC$).Из этих равенств следует, что все стороны параллелограмма равны между собой: $AB = BC = CD = AD$.Параллелограмм, у которого все стороны равны, является ромбом. Следовательно, $ABCD$ — ромб.

Теперь найдем углы ромба $ABCD$.Так как $ABCD$ — ромб, то он является и параллелограммом, а значит, $BC \parallel AD$. Диагональ $AC$ является секущей. Внутренние накрест лежащие углы $\angle BCA$ и $\angle CAD$ равны.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Так как $AB = BC$, треугольник является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle BCA = \angle BAC$.По условию, $\angle BAC = \alpha$, значит $\angle BCA = \alpha$.Так как $\angle CAD = \angle BCA$, то $\angle CAD = \alpha$.

Теперь найдем углы ромба:$\angle A = \angle BAD = \angle BAC + \angle CAD = \alpha + \alpha = 2\alpha$.По свойству ромба (или параллелограмма) противоположные углы равны, значит $\angle C = \angle BCD = \angle A = 2\alpha$.Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна $180^\circ$:$\angle B = \angle ABC = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 2\alpha$.Противоположный ему угол $D$ равен: $\angle D = \angle ADC = \angle B = 180^\circ - 2\alpha$.

Ответ: $ABCD$ является ромбом, так как это параллелограмм с равными смежными сторонами. Углы ромба равны: $\angle A = \angle C = 2\alpha$; $\angle B = \angle D = 180^\circ - 2\alpha$.