Номер 48, страница 26 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

48. a) Внутри выпуклого четырехугольника найдите точку, сумма расстояний от которой до его вершин наименьшая.

б) Можно ли простую замкнутую ломаную длиной 4 см поместить в круг радиуса 1 см?

а)

Пусть дан выпуклый четырехугольник $ABCD$ и произвольная точка $P$ внутри него. Нам необходимо найти такую точку $P$, для которой сумма расстояний до вершин четырехугольника $S = PA + PB + PC + PD$ будет наименьшей.

Перегруппируем слагаемые в сумме: $S = (PA + PC) + (PB + PD)$.

Рассмотрим сумму $PA + PC$. Точки $A$, $P$ и $C$ образуют треугольник $APC$ (или лежат на одной прямой). Согласно неравенству треугольника, сумма длин двух сторон всегда не меньше длины третьей стороны: $PA + PC \ge AC$. Равенство достигается тогда и только тогда, когда точка $P$ лежит на отрезке $AC$.

Аналогично, рассмотрим сумму $PB + PD$. Точки $B$, $P$ и $D$ образуют треугольник $BPD$. По неравенству треугольника: $PB + PD \ge BD$. Равенство достигается тогда и только тогда, когда точка $P$ лежит на отрезке $BD$.

Сложив эти два неравенства, получим: $S = (PA + PC) + (PB + PD) \ge AC + BD$.

Наименьшее значение суммы $S$ равно сумме длин диагоналей $AC + BD$. Это значение достигается только в том случае, когда выполняются оба условия равенства одновременно, то есть когда точка $P$ принадлежит одновременно и отрезку $AC$, и отрезку $BD$.

Поскольку четырехугольник $ABCD$ является выпуклым, его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в единственной точке. Эта точка и является искомой.

Ответ: искомая точка — это точка пересечения диагоналей выпуклого четырехугольника.

б)

Да, можно. Рассмотрим в качестве примера такой простой замкнутой ломаной квадрат со стороной 1 см.

1. Это простая замкнутая ломаная, состоящая из четырех звеньев.

2. Длина этой ломаной (ее периметр) равна $1 + 1 + 1 + 1 = 4$ см, что соответствует условию задачи.

3. Теперь проверим, можно ли этот квадрат поместить в круг радиуса 1 см. Круг радиуса 1 см имеет диаметр $2 \times 1 = 2$ см. Фигура помещается в круг, если ее наибольший размер не превышает диаметр круга.

Наибольший размер квадрата — это длина его диагонали. По теореме Пифагора найдем диагональ $d$ квадрата со стороной 1 см: $d = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ см.

Сравним длину диагонали квадрата с диаметром круга: $\sqrt{2} \approx 1.414$ см. Диаметр круга равен 2 см. Поскольку $\sqrt{2} < 2$, диагональ квадрата меньше диаметра круга. Следовательно, такой квадрат можно поместить в заданный круг.

Ответ: да, можно.