Вопросы, страница 30 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

1. Что называется параллелограммом, прямоугольником, ромбом, квадратом?

2. Что называется трапецией? Какая трапеция называется равнобедренной, прямоугольной?

3. Докажите, что у параллелограмма противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

4. Докажите, что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

1. Что называется параллелограммом, прямоугольником, ромбом, квадратом?

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые (равны $90^\circ$).

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны. Также квадрат можно определить как ромб, у которого все углы прямые.

Ответ:

2. Что называется трапецией? Какая трапеция называется равнобедренной, прямоугольной?

Трапецией называется четырехугольник, у которого только одна пара противоположных сторон параллельна. Эти параллельные стороны называются основаниями трапеции, а две другие стороны — боковыми сторонами.

Равнобедренной трапецией называется трапеция, у которой боковые стороны равны.

Прямоугольной трапецией называется трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям.

Ответ:

3. Докажите, что у параллелограмма противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

Дано: параллелограмм $ABCD$.

Найти: доказать, что $AB = CD$, $BC = AD$, $\angle A = \angle C$, $\angle B = \angle D$.

Решение:

Проведем диагональ $AC$. Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$.

По определению параллелограмма, его противоположные стороны параллельны, то есть $AB \parallel CD$ и $BC \parallel AD$.

1. Так как $AB \parallel CD$ и $AC$ - секущая, то $\angle BAC = \angle DCA$ как накрест лежащие углы.

2. Так как $BC \parallel AD$ и $AC$ - секущая, то $\angle BCA = \angle DAC$ как накрест лежащие углы.

3. Сторона $AC$ является общей для обоих треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$.

Из пунктов 1, 2 и 3 следует, что $\triangle ABC \cong \triangle CDA$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон и углов:

• $AB = CD$

• $BC = AD$

• $\angle B = \angle D$

Теперь докажем равенство углов $\angle A$ и $\angle C$.

$\angle A = \angle BAC + \angle DAC$

$\angle C = \angle BCA + \angle DCA$

Поскольку мы уже установили, что $\angle BAC = \angle DCA$ и $\angle DAC = \angle BCA$, то их суммы также равны, то есть $\angle A = \angle C$.

Таким образом, у параллелограмма противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

Ответ: Доказано.

4. Докажите, что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Дано: параллелограмм $ABCD$, диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

Найти: доказать, что $AO = OC$ и $BO = OD$.

Решение:

Рассмотрим треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle COB$.

По определению параллелограмма, $AD \parallel BC$.

1. Так как $AD \parallel BC$ и $AC$ - секущая, то $\angle DAO = \angle BCO$ (или $\angle CAD = \angle ACB$) как накрест лежащие углы.

2. Так как $AD \parallel BC$ и $BD$ - секущая, то $\angle ADO = \angle CBO$ (или $\angle ADB = \angle CBD$) как накрест лежащие углы.

3. По свойству параллелограмма (доказанному в предыдущем пункте), его противоположные стороны равны, то есть $AD = BC$.

Из пунктов 1, 2 и 3 следует, что $\triangle AOD \cong \triangle COB$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства этих треугольников следует равенство соответствующих сторон:

• $AO = OC$

• $DO = OB$

Это означает, что точка $O$ делит каждую диагональ пополам.

Ответ: Доказано.