Номер 54, страница 31 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

54. $ABCD$ – параллелограмм, отрезки $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$, $DD_1$ лежат на биссектрисах его углов (рисунок 36). Установите вид четырехугольника $MNKL$.

Рисунок 36

Для того чтобы установить вид четырехугольника MNKL, образованного пересечением биссектрис углов параллелограмма ABCD, необходимо найти его внутренние углы.

Рассмотрим угол четырехугольника при вершине N. Согласно условию и рисунку, вершина N является точкой пересечения биссектрис, проведенных из углов A и D. Эти биссектрисы вместе со стороной AD параллелограмма образуют треугольник AND.

В любом параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°. Следовательно, для стороны AD имеем: $∠DAB + ∠ADC = 180°$.

Поскольку отрезки AN и DN лежат на биссектрисах, они делят углы ∠DAB и ∠ADC пополам:

$∠NAD = \frac{1}{2} ∠DAB$

$∠NDA = \frac{1}{2} ∠ADC$

Найдем сумму этих двух углов в треугольнике AND:

$∠NAD + ∠NDA = \frac{1}{2} ∠DAB + \frac{1}{2} ∠ADC = \frac{1}{2} (∠DAB + ∠ADC) = \frac{1}{2} \cdot 180° = 90°$.

Так как сумма всех углов в треугольнике равна 180°, то третий угол треугольника AND, угол ∠AND, равен:

$∠AND = 180° - (∠NAD + ∠NDA) = 180° - 90° = 90°$.

Угол ∠MNK четырехугольника MNKL — это и есть угол ∠AND, так как лучи NM и NK совпадают с лучами NA и ND. Таким образом, $∠MNK = 90°$.

Аналогичные рассуждения можно провести для всех остальных вершин четырехугольника MNKL, так как каждая из них является точкой пересечения биссектрис двух соседних углов параллелограмма:

• Для вершины M (пересечение биссектрис углов A и B) угол $∠AMB = 90°$. Следовательно, $∠NML = 90°$.

• Для вершины L (пересечение биссектрис углов B и C) угол $∠BLC = 90°$. Следовательно, $∠KLM = 90°$.

• Для вершины K (пересечение биссектрис углов C и D) угол $∠CKD = 90°$. Следовательно, $∠NKL = 90°$.

Таким образом, все четыре угла четырехугольника MNKL являются прямыми. Четырехугольник, у которого все углы прямые, является прямоугольником.

Ответ: Четырехугольник MNKL — прямоугольник.