Номер 56, страница 31 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

56. а) В параллелограмме $ABCM$ $AB = 6 \text{ см}$, диагонали $AC = 5 \text{ см}$, $BM = 9 \text{ см}$. Найдите $P_{\Delta AOB}$, где $O$ – точка пересечения диагоналей параллелограмма.

б) Докажите, что отрезок, проходящий через точку пересечения диагоналей параллелограмма, концы которого принадлежат его противоположным сторонам, делится этой точкой пополам.

а)

По условию задачи дан параллелограмм $ABCM$. Его стороны $AB=6$ см, а диагонали $AC = 5$ см и $BM = 9$ см. Точка $O$ является точкой пересечения диагоналей. Необходимо найти периметр треугольника $AOB$.

Периметр треугольника $AOB$ вычисляется по формуле: $P_{\triangle AOB} = AO + BO + AB$.

Одно из ключевых свойств параллелограмма заключается в том, что его диагонали в точке пересечения делятся пополам. Исходя из этого свойства, мы можем найти длины сторон $AO$ и $BO$ треугольника $AOB$.

Сторона $AO$ является половиной диагонали $AC$:
$AO = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 5 = 2,5$ см.

Сторона $BO$ является половиной диагонали $BM$:
$BO = \frac{1}{2} BM = \frac{1}{2} \cdot 9 = 4,5$ см.

Длина стороны $AB$ дана в условии и равна $6$ см.

Теперь мы можем вычислить периметр треугольника $AOB$:
$P_{\triangle AOB} = AO + BO + AB = 2,5 + 4,5 + 6 = 13$ см.

Ответ: 13 см.

б)

Требуется доказать, что любой отрезок, который проходит через точку пересечения диагоналей параллелограмма и концы которого лежат на противоположных сторонах параллелограмма, делится этой точкой пополам.

Доказательство:
Рассмотрим параллелограмм $ABCD$. Пусть его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Проведем через точку $O$ произвольный отрезок $PQ$ так, что его концы лежат на противоположных сторонах, например, точка $P$ на стороне $BC$, а точка $Q$ на стороне $AD$.

Рассмотрим треугольники $\triangle QOA$ и $\triangle POC$.

1. Стороны $AO$ и $OC$ равны ($AO = OC$), так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
2. Углы $\angle QAO$ и $\angle PCO$ равны ($\angle QAO = \angle PCO$) как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$ (противоположные стороны параллелограмма) и секущей $AC$.
3. Углы $\angle QOA$ и $\angle POC$ равны ($\angle QOA = \angle POC$) как вертикальные углы.

Таким образом, треугольник $\triangle QOA$ равен треугольнику $\triangle POC$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. В данном случае, сторона $QO$ треугольника $\triangle QOA$ соответствует стороне $PO$ треугольника $\triangle POC$. Следовательно, $QO = PO$.

Это доказывает, что точка пересечения диагоналей $O$ делит отрезок $PQ$ пополам, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.