Номер 65, страница 36 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

65. a) Докажите, что четырехугольник $ABCD$ параллелограмм, если его вершины являются серединами сторон:

1) прямоугольника;

2) ромба.

б) В равнобедренной трапеции $ABCD$ основание $AD = 2BC$, точка $M$ – середина $AD$. Докажите, что четырехугольники $ABCM$ и $MBCD$ параллелограммы.

а) 1) Пусть дан прямоугольник, который мы обозначим как $KLMN$. Пусть точки $A, B, C, D$ являются серединами его сторон $KL, LM, MN$ и $NK$ соответственно. Нам нужно доказать, что четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом.
Рассмотрим диагональ $KM$ прямоугольника. В треугольнике $KLM$ отрезок $AB$ соединяет середины сторон $KL$ и $LM$. По теореме о средней линии треугольника, отрезок $AB$ параллелен диагонали $KM$ и равен ее половине, то есть $AB \parallel KM$ и $AB = \frac{1}{2}KM$.
Теперь рассмотрим треугольник $KNM$. В этом треугольнике отрезок $DC$ соединяет середины сторон $NK$ и $NM$. По той же теореме о средней линии, $DC \parallel KM$ и $DC = \frac{1}{2}KM$.
Из полученных соотношений следует, что $AB \parallel DC$ (так как оба отрезка параллельны $KM$) и $AB = DC$ (так как оба отрезка равны половине $KM$).
Четырехугольник, у которого две противолежащие стороны равны и параллельны, является параллелограммом. Следовательно, четырехугольник $ABCD$ — параллелограмм.
Ответ: Четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом.

а) 2) Пусть дан ромб, который мы обозначим как $KLMN$. Пусть точки $A, B, C, D$ являются серединами его сторон $KL, LM, MN$ и $NK$ соответственно. Докажем, что $ABCD$ — параллелограмм.
Рассмотрим диагональ $LN$ ромба. В треугольнике $LMN$ отрезок $BC$ соединяет середины сторон $LM$ и $MN$. По теореме о средней линии треугольника, $BC \parallel LN$ и $BC = \frac{1}{2}LN$.
Теперь рассмотрим треугольник $LKN$. Отрезок $AD$ соединяет середины сторон $KL$ и $KN$. По теореме о средней линии, $AD \parallel LN$ и $AD = \frac{1}{2}LN$.
Таким образом, мы имеем, что $AD \parallel BC$ (так как оба отрезка параллельны $LN$) и $AD = BC$ (так как оба отрезка равны половине $LN$).
Поскольку в четырехугольнике $ABCD$ противолежащие стороны $AD$ и $BC$ равны и параллельны, по признаку параллелограмма этот четырехугольник является параллелограммом.
Ответ: Четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом.

б) По условию задачи дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, причем $AD \parallel BC$. Также дано, что $AD = 2BC$ и точка $M$ является серединой основания $AD$.
Так как $M$ — середина $AD$, то $AM = MD = \frac{1}{2}AD$.
Из условия $AD = 2BC$ следует, что $BC = \frac{1}{2}AD$.
Сравнивая эти два выражения, получаем, что $AM = MD = BC$.
Рассмотрим четырехугольник $ABCM$. Его стороны $AM$ и $BC$ параллельны, так как $AM$ лежит на прямой $AD$, а $AD \parallel BC$. Кроме того, мы установили, что длины этих сторон равны: $AM = BC$. Поскольку в четырехугольнике $ABCM$ две противолежащие стороны равны и параллельны, он является параллелограммом.
Теперь рассмотрим четырехугольник $MBCD$. Его стороны $MD$ и $BC$ параллельны, так как $MD$ лежит на прямой $AD$, а $AD \parallel BC$. Мы также показали, что их длины равны: $MD = BC$. Следовательно, по тому же признаку, четырехугольник $MBCD$ также является параллелограммом.
Таким образом, утверждение доказано.
Ответ: Четырехугольники $ABCM$ и $MBCD$ являются параллелограммами.