Номер 69, страница 39 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

69. Докажите, что:
а) выпуклый четырехугольник, все углы которого равны, есть прямоугольник;
б) выпуклый четырехугольник является прямоугольником, если все отрезки, на которые разбиваются его диагонали их точкой пересечения, равны.

а) Пусть дан выпуклый четырехугольник, все углы которого равны. Обозначим величину каждого угла как $\alpha$. Сумма внутренних углов любого выпуклого четырехугольника равна $360^\circ$. Следовательно, для нашего четырехугольника можно записать уравнение: $\alpha + \alpha + \alpha + \alpha = 360^\circ$ $4\alpha = 360^\circ$ $\alpha = \frac{360^\circ}{4} = 90^\circ$ Таким образом, все углы данного четырехугольника являются прямыми. Рассмотрим две противоположные стороны четырехугольника, например, AB и CD, и одну из прилежащих к ним сторон в качестве секущей, например, AD. Сумма односторонних внутренних углов $\angle A$ и $\angle D$ равна $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Если сумма односторонних внутренних углов при пересечении двух прямых секущей равна $180^\circ$, то эти прямые параллельны. Следовательно, $AB \parallel CD$. Аналогично, рассмотрев стороны AD и BC и секущую AB, получаем, что сумма углов $\angle A$ и $\angle B$ равна $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$, значит, $AD \parallel BC$. Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны, является параллелограммом. Параллелограмм, все углы которого прямые, по определению является прямоугольником. Что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано.

б) Пусть в выпуклом четырехугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O. По условию, все отрезки, на которые диагонали разбиваются точкой их пересечения, равны. То есть, $AO = OC = BO = OD$. Из равенства $AO = OC$ и $BO = OD$ следует, что диагонали четырехугольника точкой пересечения делятся пополам. Согласно признаку параллелограмма, если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм. Таким образом, ABCD — параллелограмм. Теперь найдем длины диагоналей. Длина диагонали AC равна $AO + OC$. Так как $AO = OC$, то $AC = 2 \cdot AO$. Длина диагонали BD равна $BO + OD$. Так как $BO = OD$, то $BD = 2 \cdot BO$. Из условия задачи мы знаем, что $AO = BO$. Следовательно, $2 \cdot AO = 2 \cdot BO$, что означает $AC = BD$. Таким образом, мы имеем параллелограмм, диагонали которого равны. Согласно свойству прямоугольника, параллелограмм с равными диагоналями является прямоугольником. Следовательно, четырехугольник ABCD — это прямоугольник. Что и требовалось доказать.
Ответ: Утверждение доказано.