Номер 75, страница 40 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

75. a) В прямоугольнике $ABCD$ проведен перпендикуляр $BH$ к диагонали $AC$, который делит угол $B$ в отношении 4 : 5. Найдите угол $HBD$.

б) Дан прямоугольник со сторонами 6 см и 2 см. Биссектрисы его углов, пересекаясь, образуют четырехугольник $MNPK$. Установите его вид и найдите диагонали.

а)

Пусть дан прямоугольник $ABCD$. По определению, все его углы прямые, то есть $\angle A = \angle B = \angle C = \angle D = 90^\circ$.Проведен перпендикуляр $BH$ к диагонали $AC$, который делит угол $\angle B$ (то есть $\angle ABC$) в отношении $4:5$.Пусть $\angle ABH = 4x$ и $\angle HBC = 5x$.Сумма этих углов равна углу $\angle ABC$:$\angle ABH + \angle HBC = \angle ABC$$4x + 5x = 90^\circ$$9x = 90^\circ$$x = 10^\circ$Отсюда находим величины углов:$\angle ABH = 4 \cdot 10^\circ = 40^\circ$$\angle HBC = 5 \cdot 10^\circ = 50^\circ$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABH$ (поскольку $BH \perp AC$, то $\angle BHA = 90^\circ$). Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$, поэтому:$\angle BAH = 90^\circ - \angle ABH = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ$.Угол $\angle BAH$ является частью угла $\angle BAD$ и совпадает с углом $\angle BAC$. Таким образом, $\angle BAC = 50^\circ$.

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Тогда $AO = BO = CO = DO$.Рассмотрим треугольник $\triangle ABO$. Так как $AO = BO$, он является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны:$\angle ABD = \angle BAC = 50^\circ$.

Теперь мы можем найти искомый угол $\angle HBD$. Он является разностью углов $\angle ABD$ и $\angle ABH$:$\angle HBD = \angle ABD - \angle ABH = 50^\circ - 40^\circ = 10^\circ$.Также можно найти $\angle HBD$ как разность углов $\angle HBC$ и $\angle DBC$. Для этого сначала найдем $\angle DBC$:$\angle DBC = \angle ABC - \angle ABD = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ$.Тогда $\angle HBD = \angle HBC - \angle DBC = 50^\circ - 40^\circ = 10^\circ$.Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: $10^\circ$.

б)

Пусть дан прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB=CD=6$ см и $BC=AD=2$ см. Углы прямоугольника равны $90^\circ$, поэтому их биссектрисы делят углы на два угла по $45^\circ$.

1. Установление вида четырехугольника MNPK.
Пусть $k_A, k_B, k_C, k_D$ — биссектрисы углов $A, B, C, D$ соответственно. Четырехугольник $MNPK$ образован пересечениями этих биссектрис.Рассмотрим биссектрисы смежных углов, например $k_A$ и $k_B$. Они выходят из вершин стороны $AB$. В треугольнике, образованном отрезком $AB$ и биссектрисами $k_A$ и $k_B$, углы при основании $AB$ равны $45^\circ$. Следовательно, угол между биссектрисами $k_A$ и $k_B$ равен $180^\circ - 45^\circ - 45^\circ = 90^\circ$. Таким образом, биссектрисы смежных углов прямоугольника перпендикулярны.

Рассмотрим биссектрисы противоположных углов, например $k_A$ и $k_C$. Так как стороны $AD$ и $BC$ параллельны, а биссектрисы $k_A$ и $k_C$ образуют с ними равные углы по $45^\circ$ (как соответственные углы при секущих $AB$ и $CD$), то биссектрисы $k_A$ и $k_C$ параллельны. Аналогично, биссектрисы $k_B$ и $k_D$ параллельны.

Четырехугольник $MNPK$, стороны которого лежат на биссектрисах $k_A, k_B, k_C, k_D$, имеет попарно параллельные противоположные стороны, то есть является параллелограммом. Так как смежные стороны этого параллелограмма перпендикулярны (поскольку лежат на перпендикулярных биссектрисах), то этот параллелограмм является прямоугольником.

Чтобы определить, является ли прямоугольник $MNPK$ квадратом, найдем длины его сторон. Длина стороны прямоугольника $MNPK$ равна расстоянию между параллельными биссектрисами. Пусть $L=6$ — длина большей стороны, $W=2$ — длина меньшей стороны прямоугольника $ABCD$. Можно показать, что расстояние между биссектрисами $k_A$ и $k_C$ равно $(L-W)/\sqrt{2}$, и расстояние между биссектрисами $k_B$ и $k_D$ также равно $(L-W)/\sqrt{2}$.Так как стороны равны, четырехугольник $MNPK$ — квадрат.

2. Нахождение диагоналей.
Найдем длину стороны квадрата $MNPK$.Сторона $a = \frac{L-W}{\sqrt{2}} = \frac{6-2}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$ см.Диагональ квадрата $d$ связана с его стороной $a$ формулой $d = a\sqrt{2}$.$d = (2\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2} = 2 \cdot 2 = 4$ см.Диагонали квадрата равны, поэтому обе диагонали имеют длину 4 см.Альтернативный вывод: длина диагонали внутреннего квадрата равна разности сторон исходного прямоугольника: $d=L-W=6-2=4$ см.

Ответ: Четырехугольник $MNPK$ является квадратом, его диагонали равны 4 см.