Номер 86, страница 47 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

86. В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан квадрат так, что две его вершины лежат на гипотенузе, а две другие – на катетах. Найдите периметр квадрата, если гипотенуза равна 12 см.

Пусть дан равнобедренный прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Его гипотенуза $AB = 12$ см. Поскольку треугольник является равнобедренным и прямоугольным, его углы при основании (гипотенузе) равны и составляют $\angle A = \angle B = (180^\circ - 90^\circ) / 2 = 45^\circ$.

В треугольник вписан квадрат $DEFG$ таким образом, что его вершины $D$ и $E$ находятся на гипотенузе $AB$, а вершины $G$ и $F$ — на катетах $AC$ и $BC$ соответственно. Пусть сторона квадрата равна $x$. Тогда $GD = DE = EF = FG = x$.

Так как сторона квадрата $DE$ лежит на гипотенузе $AB$, то стороны $GD$ и $EF$, будучи перпендикулярными стороне $DE$ (в квадрате все углы прямые), также перпендикулярны гипотенузе $AB$.

Рассмотрим треугольник $ADG$, который образуется в углу $A$ большого треугольника. В этом треугольнике нам известны два угла: $\angle A = 45^\circ$ и $\angle GDA = 90^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому третий угол $\angle AGD = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$. Так как два угла в треугольнике $ADG$ равны, он является равнобедренным. Следовательно, его катеты равны: $AD = GD$. Поскольку $GD = x$, то и $AD = x$.

Аналогично рассмотрим треугольник $BEF$, образованный в углу $B$. В нем $\angle B = 45^\circ$ и $\angle FEB = 90^\circ$. Значит, $\angle BFE = 45^\circ$, и треугольник $BEF$ также является равнобедренным. Его катеты равны: $BE = EF$. Поскольку $EF = x$, то и $BE = x$.

Гипотенуза $AB$ исходного треугольника состоит из трех отрезков: $AD$, $DE$ и $BE$. Мы можем записать это в виде уравнения:$AB = AD + DE + BE$

Подставим в это уравнение известные и полученные нами значения:$12 = x + x + x$$12 = 3x$

Отсюда находим сторону квадрата $x$:$x = \frac{12}{3} = 4$ см.

Периметр квадрата $P$ вычисляется по формуле $P = 4x$.$P = 4 \times 4 = 16$ см.

Ответ: 16 см.