Номер 88, страница 47 - гдз по геометрии 8 класс учебник Солтан, Солтан

88. В $\triangle ABC$ $\angle C = 90^\circ$, $CD$ – его биссектриса. На сторонах $BC$ и $AC$ отмечены точки $K$ и $F$ соответственно так, что $DK || AC$, $DF || BC$. Докажите, что $CKDF$ – квадрат.

Рассмотрим четырехугольник CKDF. По условию, сторона DK параллельна стороне AC. Так как точка F лежит на AC, то DK || FC. Также по условию, сторона DF параллельна стороне BC. Так как точка K лежит на BC, то DF || KC. Четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, является параллелограммом. Следовательно, CKDF — параллелограмм.

По условию задачи, угол C в треугольнике ABC прямой, то есть $ \angle C = 90^\circ $. Этот угол ($ \angle KCF $) является одним из углов параллелограмма CKDF. Параллелограмм, у которого хотя бы один угол прямой, является прямоугольником. Следовательно, CKDF — прямоугольник.

Для доказательства того, что прямоугольник CKDF является квадратом, необходимо показать, что его смежные стороны равны. По условию, CD — биссектриса угла C. Это означает, что она делит угол C на два равных угла: $ \angle ACD = \angle BCD = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ $. Угол $ \angle KCD $ является одним из этих углов, поэтому $ \angle KCD = 45^\circ $.

Рассмотрим параллельные прямые DK и AC и секущую CD. Внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых равны, поэтому $ \angle KDC = \angle ACD $. Так как $ \angle ACD = 45^\circ $, то и $ \angle KDC = 45^\circ $.

Теперь рассмотрим треугольник CKD. В нем два угла равны: $ \angle KCD = 45^\circ $ и $ \angle KDC = 45^\circ $. Треугольник, у которого два угла равны, является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов, равны, то есть CK = DK.

Таким образом, CKDF — это прямоугольник, у которого смежные стороны (CK и DK) равны. Прямоугольник с равными смежными сторонами является квадратом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Четырехугольник CKDF является квадратом. Доказательство: 1) из того, что DK || AC и DF || BC, следует, что CKDF — параллелограмм; 2) так как $ \angle C = 90^\circ $, этот параллелограмм является прямоугольником; 3) так как CD — биссектриса, то $ \angle KCD = 45^\circ $. Из параллельности DK || AC следует, что накрест лежащий угол $ \angle KDC = \angle ACD = 45^\circ $. В треугольнике CKD два угла равны, следовательно, он равнобедренный и CK = DK. Прямоугольник с равными смежными сторонами является квадратом.